Номер 31, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $D_1E_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $D_1E_1$.

Решение:

1. Рассмотрим взаимное расположение прямых $BB_1$ и $D_1E_1$. Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, а прямая $D_1E_1$ является ребром верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Эти прямые скрещивающиеся, так как они не параллельны и не пересекаются.

2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной прямой до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой прямой.

3. Прямая $BB_1$ параллельна прямой $DD_1$, так как они являются боковыми рёбрами правильной призмы. Прямая $D_1E_1$ лежит в плоскости боковой грани $DD_1E_1E$. Следовательно, плоскость $DD_1E_1E$ содержит прямую $D_1E_1$ и параллельна прямой $BB_1$ (поскольку $DD_1$ принадлежит плоскости $DD_1E_1E$ и $DD_1 \parallel BB_1$).

4. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $DD_1E_1E$. Удобно взять точку $B$, лежащую на прямой $BB_1$ и в нижнем основании.

5. Поскольку боковые грани правильной призмы перпендикулярны её основаниям, плоскость $DD_1E_1E$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $DD_1E_1E$ равно перпендикулярному расстоянию от точки $B$ до прямой $DE$, которая является линией пересечения плоскости $DD_1E_1E$ с плоскостью основания $ABCDEF$.

6. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона $AB$ параллельна стороне $DE$.

7. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ в правильном шестиугольнике равно удвоенной апофеме этого шестиугольника. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. В данном случае длина стороны шестиугольника $a=1$, поэтому апофема $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Расстояние между параллельными сторонами $AB$ и $DE$ равно $2r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

10. Точка $B$ лежит на прямой, содержащей сторону $AB$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$, которое составляет $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.