Номер 33, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. То есть, длина стороны основания $AB = 1$, и высота призмы $AA_1 = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$.

Решение:

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Прямая $A_1F_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости, содержащей другую прямую, равно расстоянию от точки пересечения перпендикулярной прямой с этой плоскостью до другой прямой.

В нашем случае, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания, и точка ее пересечения с этой плоскостью — это вершина $B_1$. Прямая $A_1F_1$ лежит в этой плоскости. Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$ равно расстоянию от точки $B_1$ до прямой $A_1F_1$ в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Рассмотрим верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной 1. Нам нужно найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $A_1F_1$.

В правильном шестиугольнике сторона $A_1B_1$ и сторона $A_1F_1$ являются смежными сторонами, исходящими из одной вершины $A_1$. Угол между двумя смежными сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Таким образом, $\angle B_1A_1F_1 = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $B_1A_1F_1$. Это равнобедренный треугольник, так как $A_1B_1 = A_1F_1 = 1$ (как стороны правильного шестиугольника).

Расстояние от вершины $B_1$ до прямой $A_1F_1$ — это длина высоты, опущенной из $B_1$ на продолжение стороны $A_1F_1$. Пусть $H$ — основание этой высоты на прямой, содержащей $A_1F_1$.

В треугольнике $B_1A_1F_1$:

$B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(\angle B_1A_1F_1)$ (если $H$ находится на продолжении $A_1F_1$)

или

$B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(180^\circ - \angle B_1A_1F_1)$ (если $H$ находится на отрезке $A_1F_1$, но так как угол $120^\circ$, $H$ будет на продолжении)

Или, более просто, рассмотрим треугольник $B_1A_1K$, где $K$ - точка на продолжении $F_1A_1$ за $A_1$. Тогда $\angle B_1A_1K = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Расстояние $d = B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(60^\circ)$.

Так как $A_1B_1 = 1$, то $d = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем координатный метод для подтверждения.

Поместим центр верхнего основания $O_1$ в начало координат $(0,0,1)$ (так как высота призмы равна 1).

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в $(0,0)$ и вершиной $A_1$ на оси x:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 1) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$F_1 = (\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ), 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Прямая $BB_1$ проходит через точку $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{u_1} = (0,0,1)$ (параллельна оси z).

Прямая $A_1F_1$ проходит через точки $A_1(1,0,1)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{F_1A_1} = A_1 - F_1 = (1-\frac{1}{2}, 0-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1-1) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$ можно использовать формулу:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])|}{| \vec{u_1} \times \vec{u_2} |}$

Выберем точку $M_1 = B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ на прямой $BB_1$.

Выберем точку $M_2 = A_1 = (1,0,1)$ на прямой $A_1F_1$.

Вектор $\vec{M_1M_2} = A_1 - B_1 = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Модуль векторного произведения:

$| \vec{u_1} \times \vec{u_2} | = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])$:

$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (0)(0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние $d = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$