Номер 39, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Поскольку конкретные единицы измерения не указаны, перевод в СИ не требуется, все вычисления будут производиться в условных единицах длины.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FE_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FE_1$ воспользуемся методом координат.

Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Поскольку призма является правильной шестиугольной, и длина ребра основания равна $1$, радиус описанной окружности вокруг основания также равен $1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна $1$, поэтому координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную $1$.

Нас интересуют точки $B$ и $B_1$ для первой прямой, и $F$ и $E_1$ для второй прямой.

$B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$B_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

$F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$E_1 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

Определим направляющие векторы прямых.

Для прямой $BB_1$: возьмем точку $P_1 = B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Направляющий вектор $\vec{v}_1 = \vec{BB_1} = B_1 - B = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0\right) = (0, 0, 1)$.

Для прямой $FE_1$: возьмем точку $P_2 = F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Направляющий вектор $\vec{v}_2 = \vec{FE_1} = E_1 - F = \left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), 1-0\right) = (-1, 0, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми задается формулой:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

Сначала найдем вектор $P_2 - P_1$:

$P_2 - P_1 = F - B = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0\right) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Затем найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$:

$ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) $

$ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(0) = (0, -1, 0) $.

Найдем модуль векторного произведения $||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||$:

$||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|| = ||(0, -1, 0)|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем смешанное произведение (скалярное произведение вектора $P_2 - P_1$ на векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$):

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (0, -1, 0)$

$ = 0 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = \sqrt{3} $.

Подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Альтернативный способ (геометрический / проекционный):

Прямая $BB_1$ параллельна оси $Oz$. Расстояние между $BB_1$ и $FE_1$ - это расстояние от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $\alpha$, которая содержит $FE_1$ и параллельна $BB_1$.

Нормальный вектор плоскости $\alpha$ должен быть перпендикулярен направляющему вектору $BB_1$ (т.е. $(0,0,1)$) и направляющему вектору $FE_1$ (т.е. $(-1,0,1)$).

Этим нормальным вектором является векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (0, -1, 0)$, как уже было найдено.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $0x - 1y + 0z + D = 0$, или $-y + D = 0$.

Для нахождения $D$ подставим координаты точки $F\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ из прямой $FE_1$ в уравнение плоскости:

$ - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + D = 0 \implies D = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, уравнение плоскости $\alpha$: $-y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$, или $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние от точки $B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ (принадлежащей прямой $BB_1$) до этой плоскости.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Для точки $B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ и плоскости $0x - 1y + 0z - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2}}$

$d = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $ \sqrt{3} $