Номер 44, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

44. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод в систему СИ: Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты проводятся в относительных единицах.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DF_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $DF_1$ используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$, расположенного в плоскости $xy$, имеют следующие координаты:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы $h=1$, поэтому координаты верхних вершин будут иметь $z$-координату, равную 1:

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D = (-1, 0, 0)$ (точка на нижней грани)
• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Вектор направления прямой $BB_1$ будет $\vec{u} = B_1 - B = (0, 0, 1)$.

Прямая $DF_1$ проходит через точки $D(-1, 0, 0)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Вектор направления прямой $DF_1$ будет $\vec{v} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Возьмем точку $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на первой прямой и точку $P_2 = D = (-1, 0, 0)$ на второй прямой. Вектор $\vec{P_1P_2} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3/2) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot 3/2)$

$\vec{u} \times \vec{v} = (\sqrt{3}/2) \mathbf{i} + (3/2) \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = (\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-3/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (3/2) + 0 \cdot 0$

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = -3\sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4 = -6\sqrt{3}/4 = -3\sqrt{3}/2$.

Модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Наконец, вычислим расстояние:

$d = \frac{|-3\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DF_1$ равно $3/2$.