Номер 40, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

40. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Перевод в СИ:

Длина всех рёбер $a=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AF_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AF_1$ воспользуемся методом координат. Разместим начало координат $O$ в центре основания $ABCDEF$. Так как призма правильная и все её рёбра равны $1$, то сторона основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат можно задать следующим образом. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершин основания $ABCDEF$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x, y$ координаты, но $z$ координата будет равна высоте призмы, то есть $1$.

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Определим точку и направляющий вектор для каждой прямой:

Прямая $BB_1$:

Точка на прямой $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Прямая $AF_1$:

Точка на прямой $P_2 = A = (1, 0, 0)$

Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AF_1} = F_1 - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

1. Найдем вектор $\vec{P_1P_2}$:

$\vec{P_1P_2} = \vec{BA} = A - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2. Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, 0, 1) \times (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$= (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 1 \cdot (-1/2) - 0 \cdot 1, 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$= (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

3. Найдем смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

$= (1/2)(\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(-1/2) + (0)(0)$

$= \sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4 + 0$

$= 2\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$

4. Найдем модуль векторного произведения (знаменатель формулы):

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \|(\sqrt{3}/2, -1/2, 0)\|$

$= \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2}$

$= \sqrt{3/4 + 1/4 + 0}$

$= \sqrt{4/4} = \sqrt{1} = 1$

5. Вычислим расстояние:

$d = \frac{|\sqrt{3}/2|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$