Номер 47, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

47. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как длины заданы в безразмерных единицах)

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AE_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AE_1$ используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания $ABCDEF$ призмы. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы (перпендикулярно основаниям), так что $O_1$ будет центром верхнего основания. Пусть ось $Ox$ проходит через вершину $A$ нижнего основания.

Поскольку призма правильная шестиугольная, и длина ребра основания $a=1$, радиус описанной окружности основания равен длине стороны, то есть $OA=1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы (длина бокового ребра) также равна 1, координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Прямая $BB_1$ проходит через точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Прямая $AE_1$ проходит через точку $P_2 = A(1, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала найдем вектор $\vec{P_1P_2}$ (вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой). Возьмем $\vec{BA}$:

$\vec{P_1P_2} = \vec{BA} = A - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Далее, найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-3/2))$

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$.

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Затем вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ с векторным произведением $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1/2)(\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3}/2)(-3/2) + (0)(0) = \sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4 = 4\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}$.

Наконец, подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 1$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AE_1$ равно 1.