Номер 53, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

53. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$. (Все величины приведены в единой системе измерения.)

Найти

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная и длина стороны основания $a=1$, координаты вершин нижнего основания будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы также равна длине ребра, то есть $h=1$. Тогда координаты вершин верхнего основания:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем направляющие векторы прямых $BA_1$ и $CB_1$.

Для прямой $BA_1$: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $A_1(1, 0, 1)$.

Вектор $\vec{u} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $CB_1$: $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор $\vec{v} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (1, 0, 1)$.

Найдем вектор $\vec{w}$, соединяющий точку на первой прямой (например, $B$) с точкой на второй прямой (например, $C$).

$\vec{w} = \vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно модулю смешанного произведения векторов $\vec{w}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$, деленному на модуль векторного произведения векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$d = \frac{|\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 \right)$

$= \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

Найдем модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.