Номер 60, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

60. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BD_1$ и $EA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BD_1$ и $EA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.
Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ в плоскости $z=0$ имеют следующие координаты:
$A=(1, 0, 0)$
$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D=(-1, 0, 0)$
$E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F=(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
Так как высота призмы $h=1$, то координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут:
$A_1=(1, 0, 1)$
$D_1=(-1, 0, 1)$
$E_1=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Прямые, между которыми нужно найти расстояние, это $BD_1$ и $EA_1$.
Выберем по одной точке на каждой прямой: $B$ на $BD_1$ и $E$ на $EA_1$.
$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D_1=(-1, 0, 1)$
$E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$A_1=(1, 0, 1)$
Найдем направляющие векторы прямых:
$\vec{v_1} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$\vec{v_2} = \vec{EA_1} = A_1 - E = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$
Найдем вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой:
$\vec{M_1M_2} = \vec{BE} = E - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется формулой:
$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$
Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - (1)(\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((-3/2)(1) - (1)(3/2)) + \mathbf{k}((-3/2)(\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2)(3/2))$
$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-3/2 - 3/2) + \mathbf{k}(-3\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4)$
$= (-\sqrt{3}, 3, 0)$
Теперь вычислим смешанное произведение (числитель формулы):
$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, 3, 0)$
$= (-1)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(3) + (0)(0)$
$= \sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 0$
$= -2\sqrt{3}$
Найдем модуль векторного произведения (знаменатель формулы):
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |(-\sqrt{3}, 3, 0)| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 9 + 0} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
Теперь вычислим расстояние $d$:
$d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$

Ответ:

$1$