Номер 56, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

56. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AF_1$.

57. В правильной шестиугольной призме

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AF_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку все ребра призмы равны 1, то длина стороны правильного шестиугольника в основании $a=1$, а высота призмы $h=1$. Расположим вершину $A$ на положительной оси $Ox$. Тогда координаты вершин основания будут:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы $h=1$:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Определим точки и направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $AF_1$:
Для прямой $BA_1$:
Выберем точку $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $AF_1$:
Выберем точку $P_2 = A = (1, 0, 0)$.
Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AF_1} = F_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1 = P_1 + t\vec{v_1}$ и $L_2 = P_2 + s\vec{v_2}$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \mathbf{j} \left( (\frac{1}{2})(1) - (1)(-\frac{1}{2}) \right) + \mathbf{k} \left( (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2}) \right)$
$= \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$
$= (0, -1, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль векторного произведения:
$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4+3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Далее, найдем вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$:
$P_2 - P_1 = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение этого вектора с векторным произведением направляющих векторов):
$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= (\frac{1}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-1) + (0)(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$