Номер 1, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$.

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Сечение, проходящее через три точки, определяется этими точками. Вершины $A$, $B$ и $C_1$ не лежат на одной прямой, поэтому они однозначно определяют плоскость сечения. Для построения сечения последовательно соединяем эти вершины:

1. Вершины $A$ и $B$ лежат в одной грани куба (нижняя грань $ABCD$). Поэтому отрезок $AB$ является частью сечения.

2. Вершины $B$ и $C_1$ лежат в одной грани куба (передняя боковая грань $BCC_1B_1$). Поэтому отрезок $BC_1$ является частью сечения.

3. Вершины $A$ и $C_1$ являются также вершинами, через которые проходит сечение. Отрезок $AC_1$ соединяет эти вершины и является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ABC_1$.

Найдите его площадь:

Для нахождения площади треугольника $ABC_1$ определим длины его сторон. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

1. Длина стороны $AB$: Отрезок $AB$ является ребром куба. Следовательно, $AB = a = 1$.

2. Длина стороны $BC_1$: Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Эта грань представляет собой квадрат со стороной $a$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $BC_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $AC_1$: Отрезок $AC_1$ является пространственной диагональю куба. Длина пространственной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Таким образом, $AC_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Итак, стороны треугольника $ABC_1$ имеют длины $AB = 1$, $BC_1 = \sqrt{2}$ и $AC_1 = \sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $ABC_1$ прямоугольным, используя теорему Пифагора: $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$.

$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$(\sqrt{3})^2 = 3$.

Так как $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$ (то есть $1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$), треугольник $ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Это также можно подтвердить с помощью векторов. Если считать вершину $B$ началом координат, то $\vec{BA}$ будет лежать вдоль оси $x$, а $\vec{BC_1}$ будет лежать в плоскости $yz$ и будет перпендикулярен $\vec{BA}$. Скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC_1}$ равно нулю, что подтверждает перпендикулярность.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$. В данном случае катетами являются стороны $AB$ и $BC_1$.

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.