Номер 8, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $CD$, $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$.
Сечение проходит через середины ребер $AB$, $CD$, $AA_1$.
Пусть $M$ - середина ребра $AB$.
Пусть $N$ - середина ребра $CD$.
Пусть $K$ - середина ребра $AA_1$.

Найти:
1. Изобразить сечение.
2. Найти его площадь.

Решение

Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты заданных точек (середин ребер):
* $M$ - середина ребра $AB$: $M(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(\frac{1}{2},0,0)$.

* $N$ - середина ребра $CD$: $N(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = N(\frac{1}{2},1,0)$.

* $K$ - середина ребра $AA_1$: $K(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = K(0,0,\frac{1}{2})$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M, N, K$. Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.
Подставим координаты точек в уравнение плоскости:

Для $M(\frac{1}{2},0,0)$: $A(\frac{1}{2}) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow \frac{1}{2}A = D \Rightarrow A = 2D$.

Для $N(\frac{1}{2},1,0)$: $A(\frac{1}{2}) + B(1) + C(0) = D \Rightarrow \frac{1}{2}A + B = D$. Подставляя $A=2D$: $\frac{1}{2}(2D) + B = D \Rightarrow D+B=D \Rightarrow B=0$.

Для $K(0,0,\frac{1}{2})$: $A(0) + B(0) + C(\frac{1}{2}) = D \Rightarrow \frac{1}{2}C = D \Rightarrow C = 2D$.

Подставим $A=2D$, $B=0$, $C=2D$ в уравнение плоскости: $2Dx + 0y + 2Dz = D$.
Разделим на $D$ (предполагая $D \ne 0$): $2x + 2z = 1$, или $x+z=\frac{1}{2}$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (кроме уже известных $M, N, K$).
Проверим ребра, не лежащие на осях или в плоскостях $x=0, z=0$ (т.е. $AB, AD, AA_1$).
* Ребро $CD$ ($y=1, z=0, 0 \le x \le 1$): $x+0=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Это точка $N(\frac{1}{2},1,0)$, уже известна.
* Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1, 0 \le z \le 1$): $0+z=\frac{1}{2} \Rightarrow z=\frac{1}{2}$. Точка $L(0,1,\frac{1}{2})$. Это середина ребра $DD_1$.
* Ребро $BC$ ($x=1, z=0, 0 \le y \le 1$): $1+0=\frac{1}{2} \Rightarrow 1=\frac{1}{2}$. Это равенство неверно, следовательно, плоскость не пересекает ребро $BC$.
* Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0, 0 \le z \le 1$): $1+z=\frac{1}{2} \Rightarrow z=-\frac{1}{2}$. Это значение $z$ находится вне диапазона $[0,1]$, следовательно, плоскость не пересекает ребро $BB_1$.
* Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1, 0 \le z \le 1$): $1+z=\frac{1}{2} \Rightarrow z=-\frac{1}{2}$. Это значение $z$ находится вне диапазона $[0,1]$, следовательно, плоскость не пересекает ребро $CC_1$.
* Аналогично, плоскость не пересекает ребра верхнего основания ($A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$), так как для всех точек на этих ребрах $z=1$, что дает $x+1=\frac{1}{2}$ или $x=-\frac{1}{2}$, что вне диапазона $[0,1]$ для $x$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MNLK$ с вершинами:
$M(\frac{1}{2},0,0)$ - середина ребра $AB$ (переднего нижнего)
$N(\frac{1}{2},1,0)$ - середина ребра $CD$ (заднего нижнего)
$L(0,1,\frac{1}{2})$ - середина ребра $DD_1$ (левого заднего вертикального)
$K(0,0,\frac{1}{2})$ - середина ребра $AA_1$ (левого переднего вертикального)

1. Изображение сечения:
Сечение представляет собой четырехугольник $MNLK$. Представьте себе куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ находится ровно посередине переднего ребра $AB$. Точка $N$ находится ровно посередине заднего ребра $CD$. Точка $K$ находится ровно посередине левого переднего вертикального ребра $AA_1$. Точка $L$ находится ровно посередине левого заднего вертикального ребра $DD_1$. Сечение соединяет эти четыре точки, образуя плоскую фигуру. Данная фигура является прямоугольником.

2. Площадь сечения:
Определим длины сторон четырехугольника $MNLK$:
Длина $MN = \sqrt{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Длина $KL = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Так как $MN=KL=1$ и отрезки $MN$ и $KL$ параллельны (оба параллельны оси $Oy$, поскольку у них одинаковые $x$ и $z$ координаты соответственно, а $y$ изменяется), четырехугольник $MNLK$ является параллелограммом.

Теперь найдем длину стороны $MK$:
Длина $MK = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (0-0)^2 + (0-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+0^2+(-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для проверки того, является ли параллелограмм прямоугольником, вычислим скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$:
$\vec{MN} = N-M = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-0, 0-0) = (0,1,0)$.
$\vec{MK} = K-M = (0-\frac{1}{2}, 0-0, \frac{1}{2}-0) = (-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$.
$\vec{MN} \cdot \vec{MK} = (0)(-\frac{1}{2}) + (1)(0) + (0)(\frac{1}{2}) = 0+0+0 = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны. Следовательно, углы параллелограмма $MNLK$ прямые, и он является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$S_{MNLK} = MN \times MK = 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.