Номер 12, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a=1$.
Сечение проходит через вершину $B$ и середины ребер $AD$ и $A_1D_1$.

Перевод в СИ
Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:
Площадь сечения $S$.

Решение

Изобразите сечение

Пусть $M$ - середина ребра $AD$, а $N$ - середина ребра $A_1D_1$. Сечение проходит через точки $B$, $M$, $N$.

1. Соединяем точки $B$ и $M$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$.

2. Соединяем точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Так как $M$ - середина $AD$ и $N$ - середина $A_1D_1$, то отрезок $MN$ параллелен ребру $AA_1$ (и $DD_1$) и его длина равна длине ребра куба: $MN = a = 1$.

3. Поскольку $MN \parallel AA_1$ и $AA_1 \parallel BB_1$ (как параллельные ребра куба), то $MN \parallel BB_1$. Плоскость сечения проходит через точку $B$ и прямую $MN$. Так как $BB_1$ проходит через $B$ и параллельна $MN$, то ребро $BB_1$ целиком лежит в плоскости сечения. Это означает, что вершина $B_1$ также принадлежит сечению.

4. Таким образом, сечение проходит через точки $B, M, N, B_1$. Эти четыре точки образуют четырехугольник $BMNB_1$.

5. В кубе, если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны. Сечение пересекает грань $ABCD$ по отрезку $BM$. Сечение пересекает параллельную ей грань $A_1B_1C_1D_1$ по отрезку $NB_1$. Следовательно, $NB_1 \parallel BM$.

В итоге, четырехугольник $BMNB_1$ имеет две пары параллельных сторон: $MN \parallel BB_1$ (мы доказали это в пункте 3) и $NB_1 \parallel BM$ (из свойства параллельных граней). Следовательно, $BMNB_1$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение куба, проходящее через заданные точки, является четырехугольником $BMNB_1$.

Найдите его площадь

1. Мы установили, что сечение $BMNB_1$ является параллелограммом.

2. Найдем длины его сторон. Длина ребра единичного куба $a=1$.
Длина стороны $MN = a = 1$.
Для нахождения длины стороны $BM$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ в основании куба. Катет $AB = a = 1$. Катет $AM = a/2 = 1/2$, так как $M$ - середина $AD$.
По теореме Пифагора длина гипотенузы $BM$ равна:$BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Определим тип параллелограмма $BMNB_1$.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Поскольку отрезок $MN$ параллелен ребру $AA_1$, то $MN$ также перпендикулярен плоскости $ABCD$.
Отрезок $BM$ лежит в плоскости $ABCD$. Следовательно, $MN \perp BM$.
Так как смежные стороны параллелограмма $BMNB_1$ ($MN$ и $BM$) перпендикулярны, этот параллелограмм является прямоугольником.

4. Площадь прямоугольника $BMNB_1$ равна произведению его смежных сторон:
$S_{BMNB_1} = MN \times BM = 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{5}}{2}$.