Номер 7, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, CD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a=1$.

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $CD$, $A_1D_1$. Пусть эти середины обозначены как $K$, $L$ и $M$ соответственно.

Найти

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для определения сечения введем систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $C(0,1,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$.

Найдем координаты заданных точек:

• $K$ - середина ребра $AD$. $K = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.
• $L$ - середина ребра $CD$. $L = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$.
• $M$ - середина ребра $A_1D_1$. $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Эти три точки $K, L, M$ определяют плоскость сечения. Найдем уравнение этой плоскости $Ax+By+Cz=D'$.

• Для $K\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$: $\frac{1}{2}A = D'$.
• Для $L\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$: $\frac{1}{2}B = D'$.
• Для $M\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$: $\frac{1}{2}A + C = D'$.

Из первых двух уравнений получаем $A=2D'$ и $B=2D'$. Подставим $A=2D'$ в третье уравнение: $\frac{1}{2}(2D') + C = D' \Rightarrow D' + C = D' \Rightarrow C = 0$.

Если $D' \neq 0$, то, разделив на $D'$, получаем $2x+2y=1$, или $x+y=\frac{1}{2}$.

Плоскость $x+y=\frac{1}{2}$ параллельна оси $Oz$. Найдем точки ее пересечения с остальными ребрами куба.

Рассмотрим ребро $C_1D_1$. Оно соединяет точки $D_1(0,0,1)$ и $C_1(0,1,1)$. Для точек на этом ребре $x=0$ и $z=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости: $0+y=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{2}$. Таким образом, плоскость пересекает ребро $C_1D_1$ в точке $N\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, которая является серединой этого ребра.

Поскольку плоскость $x+y=\frac{1}{2}$ не пересекает ребра $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ (так как для них $x+y \ge 1$), сечение будет четырехугольником, образованным точками $K, L, N, M$.

Координаты вершин сечения: $K\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$, $L\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$, $N\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, $M\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Рассмотрим векторы сторон:

• Вектор $\vec{KM} = M-K = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 0-0, 1-0\right) = (0, 0, 1)$. Длина $KM = 1$.
• Вектор $\vec{LN} = N-L = \left(0-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-0\right) = (0, 0, 1)$. Длина $LN = 1$.
• Вектор $\vec{KL} = L-K = \left(0-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-0, 0-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.
• Вектор $\vec{MN} = N-M = \left(0-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-0, 1-1\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Так как $\vec{KM} = \vec{LN}$ и $\vec{KL} = \vec{MN}$, четырехугольник $KLNM$ является параллелограммом.Для проверки, является ли он прямоугольником, вычислим скалярное произведение смежных сторон, например $\vec{KL}$ и $\vec{KM}$:

$\vec{KL} \cdot \vec{KM} = \left(-\frac{1}{2}\right)(0) + \left(\frac{1}{2}\right)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, что означает, что векторы $\vec{KL}$ и $\vec{KM}$ перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник $KLNM$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение является прямоугольником $KLNM$, проходящим через середины ребер $AD$, $CD$, $A_1D_1$ и $C_1D_1$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади прямоугольника $KLNM$ необходимо найти длины его смежных сторон.

• Длина стороны $KM$: $KM = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{1} = 1$.
• Длина стороны $KL$: $KL = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S = KM \cdot KL = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.