Номер 5, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AB, BC, A_1 B_1$. Найдите его площадь.

Дано: единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $A_1B_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти: Изобразить сечение, найти его площадь.

Решение:

Обозначим середины заданных ребер:

• $M$ - середина ребра $AB$.
• $N$ - середина ребра $BC$.
• $P$ - середина ребра $A_1B_1$.

Для удобства вычислений введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты соответствующих вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$

Тогда координаты середин ребер будут:

• $M$ (середина $AB$): $M = (\frac{1}{2}, 0, 0)$
• $N$ (середина $BC$): $N = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$
• $P$ (середина $A_1B_1$): $P = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 1)$

Изобразите сечение:

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $MN$.

Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $MP$.

Плоскость сечения пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым. Грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя) параллельны. Следовательно, линия пересечения верхней грани плоскостью сечения должна быть параллельна отрезку $MN$.

Найдем четвертую вершину сечения, обозначим ее $R$. Она должна лежать в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ и отрезок $PR$ должен быть параллелен $MN$.

Вектор $\vec{MN} = N - M = (1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Тогда точка $R = P + \vec{MN} = (\frac{1}{2}, 0, 1) + (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}, 0 + \frac{1}{2}, 1 + 0) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.

Проверим, какой точкой является $R(1, \frac{1}{2}, 1)$. Координаты вершины $B_1$ - $(1,0,1)$, $C_1$ - $(1,1,1)$. Точка $(1, \frac{1}{2}, 1)$ является серединой ребра $B_1C_1$.

Таким образом, сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$. Обозначим эти точки $M$, $N$, $P$, $R$ соответственно.

Сечение представляет собой четырехугольник $MNRP$. Определим его тип.

Векторы сторон:

• $\vec{MN} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
• $\vec{RP} = P - R = (\frac{1}{2} - 1, 0 - \frac{1}{2}, 1 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Вектор $\vec{PR} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.
• $\vec{MP} = P - M = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
• $\vec{NR} = R - N = (1 - 1, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Поскольку $\vec{MN} = \vec{PR}$ и $\vec{MP} = \vec{NR}$, то противоположные стороны четырехугольника $MNRP$ параллельны и равны по длине. Это означает, что $MNRP$ является параллелограммом.

Проверим, является ли этот параллелограмм прямоугольником, вычислив скалярное произведение смежных сторон, например, $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{MP} = (\frac{1}{2})(0) + (\frac{1}{2})(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ перпендикулярны. Следовательно, угол между сторонами $MN$ и $MP$ прямой.

Таким образом, сечение $MNRP$ является прямоугольником.

Найдите его площадь:

Длины сторон прямоугольника $MNRP$:

• Длина $MP$ - это расстояние между $M(\frac{1}{2}, 0, 0)$ и $P(\frac{1}{2}, 0, 1)$. $MP = \sqrt{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$. Эта длина равна длине ребра куба.
• Длина $MN$ - это расстояние между $M(\frac{1}{2}, 0, 0)$ и $N(1, \frac{1}{2}, 0)$. $MN = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его смежных сторон:

$S = MP \cdot MN = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечением является прямоугольник, вершинами которого являются середины ребер $AB$, $BC$, $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Его площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.