Номер 59, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

60. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ре

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть начало координат $O(0,0,0)$ совпадает с центром нижнего основания $ABCDEF$. Поскольку призма правильная и все ее ребра равны 1, радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника равен его стороне, то есть 1. Высота призмы также равна 1.

Расположим вершины нижнего основания следующим образом:

Вершина $A$ находится на оси X: $A(1,0,0)$.

Вершина $B$ находится под углом $60^\circ$ к оси X: $B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершина $D$ находится под углом $180^\circ$ к оси X: $D(\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Соответствующие вершины верхнего основания будут иметь z-координату 1:

$A_1(1,0,1)$.

$D_1(-1,0,1)$.

Найдем направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $AD_1$.

Для прямой $BA_1$:

Точка на прямой: $P_1 = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $AD_1$:

Точка на прямой: $P_2 = A(1,0,0)$.

Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$.

Вычислим вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{BA} = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(0)) - \mathbf{j}((\frac{1}{2})(1) - (1)(-2)) + \mathbf{k}((\frac{1}{2})(0) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-2))$

$= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} + 2) + \mathbf{k}(0 - \sqrt{3}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, -\sqrt{3})$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, -\sqrt{3}) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{5}{2}) + (0)(-\sqrt{3})$

$= -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{4} + 0 = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Вычислим модуль векторного произведения $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||$:

$||(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, -\sqrt{3})|| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{5}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{25}{4} + 3} = \sqrt{\frac{28}{4} + 3} = \sqrt{7 + 3} = \sqrt{10}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$ равно $\frac{\sqrt{30}}{10}$.