Номер 52, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

52. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $ED_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Высота призмы $h=1$.

Найти

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $ED_1$.

Решение

Введём декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ направим по лучу $OA$.

Так как призма правильная и все её рёбра равны 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин шестиугольного основания $ABCDEF$ для $a=1$:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, увеличенную на $h=1$:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдём векторы направлений для прямых $BA_1$ и $ED_1$:

Для прямой $BA_1$: возьмём точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Для прямой $ED_1$: возьмём точку $P_2 = E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и вектор $\vec{v_2} = \vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}\left((-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(\frac{\sqrt{3}}{2})\right) - \mathbf{j}\left((\frac{1}{2})(1) - (1)(-\frac{1}{2})\right) + \mathbf{k}\left((\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2})\right)$

$= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

$= -\sqrt{3}\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, -1, 0)$

Найдём модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

Найдём вектор $\vec{P_1P_2} = E - B$:

$\vec{P_1P_2} = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение $\vec{P_1P_2}$ на $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, -1, 0)$

$= (-1)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(-1) + (0)(0)$

$= \sqrt{3} + \sqrt{3} + 0 = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $ED_1$ равно $\sqrt{3}$.