Номер 48, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

48. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $CF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Перевод в СИ: Поскольку единицы длины не указаны, принимаем $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CF_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, длина стороны шестиугольника основания $a=1$, а высота призмы также равна 1.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь ту же x и y координаты, но z-координату, равную высоте призмы (1).

• $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы направлений для заданных прямых:

1. Прямая $BB_1$: проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор направления $\vec{u} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (0, 0, 1)$.

2. Прямая $CF_1$: проходит через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор направления $\vec{v} = \vec{CF_1} = F_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от точки на одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой прямой.

Прямая $BB_1$ параллельна оси Oz. Найдем плоскость, содержащую прямую $CF_1$ и параллельную прямой $BB_1$. Нормальный вектор $\vec{n}$ этой плоскости будет перпендикулярен векторам $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 1) \times (1, -\sqrt{3}, 1)$

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1) = (\sqrt{3}, 1, 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормального вектора:

$\sqrt{3}x + 1y + 0z + D = 0 \Rightarrow \sqrt{3}x + y + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, которая лежит в этой плоскости:

$\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} + D = 0$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей $CF_1$ и параллельной $BB_1$, есть $\sqrt{3}x + y = 0$.

Теперь найдем расстояние от любой точки на прямой $BB_1$ до этой плоскости. Возьмем точку $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ определяется формулой:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Подставляем значения для точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и плоскости $\sqrt{3}x + y = 0$ ($A=\sqrt{3}, B=1, C=0, D=0$):

$d = \frac{|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) + 1(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$