Номер 41, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$. Это означает, что сторона основания $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FA_1$ воспользуемся методом координат.Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и длина всех ее ребер равна $1$, то сторона шестиугольного основания $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Определим координаты необходимых вершин:

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):
Вершина $A$ расположена на оси $x$ на расстоянии $a=1$ от начала координат, поэтому $A = (1, 0, 0)$.
Вершина $B$ находится под углом $60^\circ$ к оси $x$: $B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Вершина $F$ находится под углом $-60^\circ$ к оси $x$: $F = (a \cdot \cos(-60^\circ), a \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$, так как $h=1$):
Вершина $A_1$ получается из $A$ подъемом на высоту $h$: $A_1 = (1, 0, 1)$.
Вершина $B_1$ получается из $B$ подъемом на высоту $h$: $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Эта прямая является вертикальной, параллельной оси $z$.

Прямая $FA_1$ проходит через точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Поскольку прямая $BB_1$ является вертикальной (перпендикулярной плоскости $xy$), расстояние между ней и скрещивающейся с ней прямой $FA_1$ можно найти как расстояние от проекции прямой $BB_1$ на плоскость $xy$ (точки $B$) до проекции прямой $FA_1$ на плоскость $xy$ (линии $FA$).

Найдем уравнение прямой $FA$ в плоскости $xy$. Точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $A(1, 0)$.

Угловой коэффициент $k$ прямой $FA$:
$k = \frac{y_A - y_F}{x_A - x_F} = \frac{0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Уравнение прямой $FA$ в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$, используя точку $A(1,0)$:$y - 0 = \sqrt{3}(x - 1)$
$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$
Перепишем уравнение в общий вид $Ax + By + C = 0$:
$\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $\sqrt{3}x - y - \sqrt{3} = 0$.Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Здесь $A=\sqrt{3}$, $B=-1$, $C=-\sqrt{3}$. Координаты точки $B$ - $x_0 = \frac{1}{2}$, $y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$
$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$