Номер 35, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер равна $1$. То есть, $AB = BC = ... = FA = AA_1 = BB_1 = ... = FF_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Все длины уже даны в безразмерных единицах, можно считать их условными единицами длины (например, метрами).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $DC_1$ воспользуемся методом координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и длина ребра основания равна 1, радиус описанной окружности вокруг шестиугольника равен длине его стороны, то есть $R=1$. Высота призмы также равна 1, так как все рёбра равны 1.

Определим координаты вершин:

Возьмем ось $x$ проходящей через центр и вершину $A$. $A = (1, 0, 0)$. Угол между радиусами соседних вершин правильного шестиугольника равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Координаты вершин нижнего основания: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Вершины верхнего основания имеют те же координаты $x, y$, но $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1. $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Вектор направления для прямой $BB_1$: $\vec{u} = \vec{BB_1} = (0, 0, 1)$. Возьмем точку на прямой $BB_1$: $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая $DC_1$ проходит через точки $D(-1, 0, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Вектор направления для прямой $DC_1$: $\vec{v} = \vec{DC_1} = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Возьмем точку на прямой $DC_1$: $P_2 = D = (-1, 0, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{u}, \vec{v}$, определяется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$. Следовательно, $\vec{u} \times \vec{v} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Вычислим модуль векторного произведения: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение) $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$: $(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (0)(0) = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние $d$: $d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$