Номер 32, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $E_1F_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Найти: Расстояние между прямыми $BB_1$ и $E_1F_1$.

Решение:
1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром правильной шестиугольной призмы. Боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям ее оснований. В частности, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
2. Прямая $E_1F_1$ является ребром верхнего основания и, следовательно, лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
3. Поскольку прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости, содержащей прямую $E_1F_1$, то расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $E_1F_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до прямой $E_1F_1$. Для удобства возьмем точку $B_1$.
4. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B_1$ до стороны $E_1F_1$ в правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, сторона которого равна 1 (поскольку все ребра призмы равны 1).
5. Рассмотрим правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$.
6. Найдем длину отрезка $B_1F_1$. Этот отрезок является так называемой "короткой" диагональю правильного шестиугольника (соединяет вершины через одну). Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $B_1F_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
7. Докажем, что отрезок $B_1F_1$ перпендикулярен стороне $E_1F_1$.
Угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 4 \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, $\angle A_1F_1E_1 = 120^\circ$.
Рассмотрим треугольник $A_1F_1B_1$. Это равнобедренный треугольник, так как $A_1F_1 = A_1B_1 = 1$ (стороны шестиугольника). Угол при вершине $A_1$, то есть $\angle F_1A_1B_1$, является углом правильного шестиугольника, поэтому $\angle F_1A_1B_1 = 120^\circ$.
Углы при основании в равнобедренном треугольнике $A_1F_1B_1$ равны: $\angle A_1F_1B_1 = \angle A_1B_1F_1 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.
Теперь рассмотрим угол $\angle B_1F_1E_1$. Он является частью угла $\angle A_1F_1E_1$.
$\angle B_1F_1E_1 = \angle A_1F_1E_1 - \angle A_1F_1B_1 = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, отрезок $B_1F_1$ перпендикулярен прямой $E_1F_1$.
8. Поскольку $B_1F_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B_1$ на прямую $E_1F_1$, его длина является искомым расстоянием.
Расстояние равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$