Номер 27, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер: $a = 1$.

Перевод в систему СИ:

Единицы измерения не указаны (ребра заданы безразмерным числом 1), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат. Разместим призму в трехмерной системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$, а ребро $AB$ лежит вдоль оси $Ox$.

Тогда координаты вершин нижнего основания $ABC$:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (так как треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 1, а высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$)

Поскольку все ребра призмы равны 1, высота призмы также равна 1. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут:

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Определим направляющие векторы для каждой из заданных прямых и точки, через которые они проходят:

• Прямая $AB_1$: проходит через точку $P_1 = A(0,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

• Прямая $BC_1$: проходит через точку $P_2 = B(1,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (0.5-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -0.5 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-0.5)) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot (-0.5))$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - (1 + 0.5)\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на векторное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2})$):

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1,0,0) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$= 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$.

Упростим полученное выражение:

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{5}}{5}$.