Номер 29, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах (число 1), которые не требуют перевода для данной геометрической задачи. Если бы единицы были указаны (например, метры), то они уже были бы в СИ.

$a = 1$ (единица длины)

$h = 1$ (единица длины)

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $EE_1$.

Решение:

1. Прямая $EE_1$ является боковым ребром правильной призмы. Боковые ребра правильной призмы перпендикулярны плоскостям ее оснований. Следовательно, прямая $EE_1$ перпендикулярна плоскости нижнего основания $ABCDEF$.

2. Прямая $BC$ является ребром нижнего основания и целиком лежит в плоскости $ABCDEF$.

3. Поскольку прямая $EE_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, прямая $EE_1$ перпендикулярна прямой $BC$.

4. Прямые $BC$ и $EE_1$ являются скрещивающимися (они не параллельны и не пересекаются) и перпендикулярными друг к другу. Расстояние между двумя скрещивающимися перпендикулярными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую перпендикулярно первой. В данном случае, это расстояние от точки $E$ (основания перпендикуляра $EE_1$ на плоскость $ABCDEF$) до прямой $BC$, лежащей в той же плоскости.

5. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $E$ до стороны $BC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

6. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона $BC$ параллельна стороне $FE$. Вершина $E$ лежит на стороне $FE$.

7. Расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника (например, $BC$ и $FE$) равно удвоенной апофеме шестиугольника.

8. Апофема $h_a$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_a = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Для данного шестиугольника со стороной $a=1$, апофема равна $h_a = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $FE$ равно $2 \cdot h_a = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

11. Поскольку точка $E$ лежит на прямой, содержащей сторону $FE$, расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно расстоянию между параллельными прямыми $FE$ и $BC$, которое составляет $\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BC$ и $EE_1$ равно $\sqrt{3}$.