Номер 36, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DE_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $DE_1$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой прямой.

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы, поэтому она параллельна всем остальным боковым рёбрам, в том числе $DD_1$.

Рассмотрим плоскость $DD_1E_1E$. Эта плоскость содержит прямую $DE_1$.

Так как прямая $BB_1$ параллельна прямой $DD_1$, а прямая $DD_1$ лежит в плоскости $DD_1E_1E$, то прямая $BB_1$ параллельна плоскости $DD_1E_1E$.

Следовательно, расстояние между прямыми $BB_1$ и $DE_1$ равно расстоянию от прямой $BB_1$ до плоскости $DD_1E_1E$. Это расстояние, в свою очередь, равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ до плоскости $DD_1E_1E$. Выберем точку $B$.

Плоскость $DD_1E_1E$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, поскольку призма является правильной, и её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Линия пересечения этих двух плоскостей — это прямая $DE$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $DD_1E_1E$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $DE$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $AB$ параллельна стороне $DE$.

Поскольку прямые $AB$ и $DE$ параллельны, а точка $B$ лежит на прямой $AB$, то расстояние от точки $B$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$.

Расстояние между противоположными сторонами правильного шестиугольника со стороной $a$ равно удвоенной длине апофемы (расстояния от центра шестиугольника до середины стороны).

Апофема $h$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ равно $2h = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Подставляя значение $a=1$, получаем: Расстояние $= 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$