Номер 37, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $ED_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $ED_1$.

Решение

Введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $O(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$, ось $Oz$ направим вдоль ребра $OO_1$, где $O_1$ — центр верхнего основания.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найдем координаты вершин, необходимых для определения прямых:

• Координаты вершины $B$ нижнего основания: $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты вершины $B_1$ верхнего основания: $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

• Координаты вершины $E$ нижнего основания: $E(a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты вершины $D_1$ верхнего основания: $D_1(a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 1) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 1) = (-1, 0, 1)$.

Определим векторы направления для каждой прямой и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Для прямой $BB_1$:

• Возьмем точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Вектор направления $\vec{v}_1 = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0,0,1)$.

Для прямой $ED_1$:

• Возьмем точку $P_2 = E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Вектор направления $\vec{v}_2 = \vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор, соединяющий точку $P_1$ на первой прямой и точку $P_2$ на второй прямой:

• $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2))|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$:

$\vec{N} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{N} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))$

$\vec{N} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(0)$

$\vec{N} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

Найдем модуль вектора $\vec{N}$:

$||\vec{N}|| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на вектор $\vec{N}$:

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{N}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{N}) = (-1)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(-1/2) + (0)(0)$

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{N}) = \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 + 0 = \sqrt{3}$.

Окончательно, вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$