Номер 24, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AC_1$ воспользуемся свойством, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из прямых до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

1. Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы.

2. Рассмотрим плоскость $ACC_1A_1$. Эта плоскость является боковой гранью призмы.

3. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$, а прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Отсюда следует, что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1A_1$.

4. Прямая $AC_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$.

5. Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AC_1$ равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ до плоскости $ACC_1A_1$. Выберем точку $B$ на прямой $BB_1$.

6. Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$ - это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $ACC_1A_1$. Поскольку плоскость $ACC_1A_1$ содержит ребро $AC$ основания $ABC$, и призма правильная, то этот перпендикуляр будет являться высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

7. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как призма правильная, и все его стороны равны 1 (так как все ребра призмы равны 1).

8. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

9. В нашем случае $a=1$, поэтому высота $h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $AC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$