Номер 17, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEDF:

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод в СИ

Сторона основания $a = 1$ м.

Боковое ребро $l = 2$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми SB и AC.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми SB и AC воспользуемся методом координат. Поместим центр основания правильной шестиугольной пирамиды (точку O) в начало координат $(0, 0, 0)$. Ось X направим вдоль радиуса OA.

1. Координаты вершин основания: Поскольку пирамида правильная, в основании лежит правильный шестиугольник. Радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. $R = a = 1$. Вершины правильного шестиугольника: $A = (1, 0, 0)$ $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

2. Координаты вершины пирамиды S: Высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOB$. $OB = R = 1$. $SB = l = 2$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OB^2 = SB^2$. $SO^2 + 1^2 = 2^2$ $SO^2 = 4 - 1 = 3$ $SO = \sqrt{3}$ Таким образом, координаты вершины S: $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Определение векторов для прямых SB и AC: Прямая SB проходит через точки S и B. Вектор направления $\vec{v}_{SB}$: $\vec{v}_{SB} = \vec{B} - \vec{S} = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$ Прямая AC проходит через точки A и C. Вектор направления $\vec{v}_{AC}$: $\vec{v}_{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

4. Вектор, соединяющий точки на прямых: Возьмем точку $P_1 = S(0, 0, \sqrt{3})$ на прямой SB и точку $P_2 = A(1, 0, 0)$ на прямой AC. Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{SA}$: $\vec{SA} = \vec{A} - \vec{S} = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$

5. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми: Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$, $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, определяется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$ Сначала найдем векторное произведение $\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{AC}$: $\vec{n} = \vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$ $\vec{n} = \mathbf{i} ((\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((\frac{1}{2}) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k} ((\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}))$ $\vec{n} = \mathbf{i} (0 + \frac{3}{2}) - \mathbf{j} (0 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) + \mathbf{k} (\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4})$ $\vec{n} = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{4\sqrt{3}}{4}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$

Найдем модуль вектора $\vec{n}$: $||\vec{n}|| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (\sqrt{3})^2}$ $||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4} + 3}$ $||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{12}{4}}$ $||\vec{n}|| = \sqrt{\frac{48}{4}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Найдем скалярное произведение $(\vec{SA}) \cdot \vec{n}$: $(\vec{SA}) \cdot \vec{n} = (1, 0, -\sqrt{3}) \cdot (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$ $(\vec{SA}) \cdot \vec{n} = 1 \cdot (\frac{3}{2}) + 0 \cdot (\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3})$ $(\vec{SA}) \cdot \vec{n} = \frac{3}{2} + 0 - 3 = \frac{3}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{3}{2}$

Теперь вычислим расстояние $d$: $d = \frac{|-\frac{3}{2}|}{2\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}}$ Рационализируем знаменатель: $d = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Расстояние между прямыми SB и AC равно $\frac{\sqrt{3}}{4}$.