Номер 12, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1.

Обозначим длину ребра за $a = 1$.

Перевод в СИ

Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты производятся в относительных единицах.

Найти

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CD$ воспользуемся методом координат.

1. Установим систему координат. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом, а вершина $S$ проецируется в центр основания. Пусть центр основания $O$ будет началом координат $(0, 0, 0)$. Длина стороны основания $AB = a = 1$. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до вершины основания $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Высота пирамиды $SO = h$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $SA$ - боковое ребро): $h^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Определим координаты вершин пирамиды. Примем оси $Ox$ и $Oy$ параллельными сторонам квадрата $ABCD$. Координаты вершин основания: $A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ Координаты вершины пирамиды: $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

3. Определим направляющие векторы прямых $SB$ и $CD$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых. Для прямой $SB$ возьмем точку $P_1 = S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Для прямой $CD$ возьмем точку $P_2 = C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD} = D - C = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0\right) = (-1, 0, 0)$.

Вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой: $\vec{P_1P_2} = \vec{SC} = C - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

4. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми по формуле: $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $$ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left((-\frac{1}{2})(0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})(0)\right) - \mathbf{j}\left((\frac{1}{2})(0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2})(-1)\right) + \mathbf{k}\left((\frac{1}{2})(0) - (-\frac{1}{2})(-1)\right) $$ $$ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}\left(0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \mathbf{k}\left(0 - \frac{1}{2}\right) = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}\right) $$

Теперь найдем модуль этого векторного произведения: $$ ||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Затем найдем смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$: $$ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)(0) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) $$ $$ = 0 + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Наконец, вычислим расстояние: $$ d = \frac{\left|\frac{\sqrt{2}}{2}\right|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.