Номер 50, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

50. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DA_1$.

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$ (условные единицы длины).

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DA_1$.

Воспользуемся методом координат. Поместим центр основания $ABCDEF$ в начало координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (оси призмы), а ось $Ox$ направим через вершину $A$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне.

Координаты вершин основания $ABCDEF$: $A = (1, 0, 0)$, $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$, $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (так как высота $h=1$, то $z$-координата увеличивается на 1): $A_1 = (1, 0, 1)$, $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $D_1 = (-1, 0, 1)$.

Для прямой $BB_1$ возьмем точку $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Для прямой $DA_1$ возьмем точку $P_2 = D = (-1, 0, 0)$ и направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = \vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 2) = (0, 2, 0)$

Вычислим модуль этого вектора:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, 2, 0) = (3/2) \cdot 0 + (\sqrt{3}/2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Геометрический метод подтверждает этот результат. Прямая $BB_1$ параллельна оси $Oz$ и, следовательно, параллельна плоскости $DAA_1D_1$ (так как эта плоскость содержит прямую $AA_1$, которая параллельна $BB_1$). Расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $DA_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $DAA_1D_1$. В нашей системе координат плоскость $DAA_1D_1$ совпадает с плоскостью $y=0$. Координаты точки $B$ на прямой $BB_1$ - $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Расстояние от этой точки до плоскости $y=0$ равно абсолютной величине ее $y$-координаты, то есть $|\sqrt{3}/2| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DA_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.