Номер 54, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

54. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. ($AB = BC = \dots = AA_1 = BB_1 = \dots = 1$).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми будем использовать метод координат.

1. Введем прямоугольную систему координат.

Поместим центр нижнего основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$. Так как призма правильная, в основании лежит правильный шестиугольник со стороной, равной длине ребра, то есть 1. Высота призмы также равна 1.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (лежат в плоскости $z=0$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (лежат в плоскости $z=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

2. Определим направляющие векторы прямых и вектор между точками на прямых.

Прямая $BA_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Направляющий вектор прямой $BA_1$ (обозначим $\vec{u}$):

$\vec{u} = \vec{BA_1} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Прямая $DC_1$ проходит через точки $D(-1, 0, 0)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Направляющий вектор прямой $DC_1$ (обозначим $\vec{v}$):

$\vec{v} = \vec{DC_1} = (-1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Возьмем произвольные точки на прямых для построения вектора, соединяющего их. Пусть $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $P_2 = D(-1, 0, 0)$.

Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{BD} = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

3. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми по формуле.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными параметрически как $P_1 + t\vec{u}$ и $P_2 + s\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - (1)(\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((1/2)(1) - (1)(1/2)) + \mathbf{k}((1/2)(\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2)(1/2))$

$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1/2 - 1/2) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$

$= (-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}/2)$.

Затем найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Теперь вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$):

$(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-3/2)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}/2)(0) + (0)(\sqrt{3}/2)$

$= 3\sqrt{3}/2 + 0 + 0 = 3\sqrt{3}/2$.

Наконец, подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3\sqrt{3}/2|}{\sqrt{15}/2} = \frac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{15}/2} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

$d = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$ равно $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.