Номер 2, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C$ и $D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ ед.

Найти:

Изобразить сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C$ и $D_1$.

Найти его площадь.

Решение:

Изобразить сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C$ и $D_1$.

1. Обозначим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Так как куб единичный, длина его ребра $a=1$. Координаты вершин, необходимых для решения задачи: $B=(1,0,0)$ (если $A=(0,0,0)$, $AB$ по оси $Ox$) $C=(1,1,0)$ (если $BC$ по оси $Oy$) $D_1=(0,1,1)$ (если $DD_1$ по оси $Oz$)

2. Сечение проходит через вершины $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Эти три точки не лежат на одной прямой, следовательно, они образуют плоскость, которая пересекает куб по треугольнику. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $BCD_1$.

3. Для построения сечения в пространстве, необходимо соединить данные точки: * Точки $B$ и $C$ лежат на нижней грани куба $ABCD$. Соединим их отрезком $BC$. * Точки $C$ и $D_1$ лежат на правой боковой грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $CD_1$. * Точки $B$ и $D_1$ являются вершинами куба, не лежащими на одной грани, но принадлежащими сечению. Соединим их отрезком $BD_1$. Полученный треугольник $BCD_1$ является искомым сечением. (Изображение сечения подразумевает визуальное представление, которое не может быть передано в текстовом формате HTML. В данном описании содержится пошаговый метод построения сечения.)

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BCD_1$.

Найти его площадь.

1. Найдем длины сторон треугольника $BCD_1$, используя координаты вершин и формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

* Длина стороны $BC$: Точки $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. $BC = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$ ед. Эта сторона является ребром куба.

* Длина стороны $CD_1$: Точки $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. $CD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$ ед. Эта сторона является диагональю грани $CDD_1C_1$.

* Длина стороны $BD_1$: Точки $B(1,0,0)$ и $D_1(0,1,1)$. $BD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$ ед. Эта сторона является пространственной диагональю куба.

2. Проверим, является ли треугольник $BCD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат: $BC^2 = 1^2 = 1$. $CD_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. $BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$. Заметим, что $BC^2 + CD_1^2 = 1 + 2 = 3$. Так как $BC^2 + CD_1^2 = BD_1^2$ ($1 + 2 = 3$), треугольник $BCD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (угол, лежащий напротив самой длинной стороны $BD_1$).

3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов. Катетами являются стороны $BC$ и $CD_1$. Площадь $S = \frac{1}{2} \times BC \times CD_1$. $S = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ед.кв.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ед.кв.