Номер 9, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CC_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина, через которую проходит сечение: $A$.

Середины рёбер, через которые проходит сечение: середина $CC_1$ (обозначим $M_C$), середина $DD_1$ (обозначим $M_D$).

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти

Сечение и его площадь.

Решение

Для удобства введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин куба: $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$. Длина ребра куба $a=1$.

Найдем координаты заданных точек:

• Вершина $A$: $A(0,0,0)$.
• Середина ребра $CC_1$: $M_C\left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M_C(1,1,1/2)$.
• Середина ребра $DD_1$: $M_D\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M_D(0,1,1/2)$.

Изобразите сечение

Сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M_C(1,1,1/2)$ и $M_D(0,1,1/2)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в этой плоскости, могут быть $\vec{AM_C}$ и $\vec{AM_D}$.

• $\vec{AM_C} = (1-0, 1-0, 1/2-0) = (1,1,1/2)$.
• $\vec{AM_D} = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{AM_C} \times \vec{AM_D}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(1) = (0, -1/2, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Так как $A=0$, $B=-1/2$, $C=1$, оно будет $0x - 1/2y + 1z + D = 0$. Подставим координаты точки $A(0,0,0)$ для нахождения $D$: $0 - 1/2(0) + 1(0) + D = 0 \Rightarrow D=0$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-1/2y + z = 0$, или $y = 2z$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AB$: на этом ребре $y=0$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $0=2(0)$, что верно для всех точек ребра $AB$. Это означает, что вся сторона $AB$ лежит в плоскости сечения. Таким образом, $B(1,0,0)$ является вершиной сечения.
• Ребро $AD$: на этом ребре $x=0$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $y=2(0) \Rightarrow y=0$. Точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $AA_1$: на этом ребре $x=0$ и $y=0$. Подставляем в $y=2z$: $0=2z \Rightarrow z=0$. Точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $BC$: на этом ребре $x=1$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $y=2(0) \Rightarrow y=0$. Точка $B(1,0,0)$.
• Ребро $CD$: на этом ребре $y=1$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $1=2(0) \Rightarrow 1=0$, что неверно. Значит, сечение не пересекает ребро $CD$.
• Ребро $DD_1$: точка $M_D(0,1,1/2)$ уже найдена.
• Ребро $CC_1$: точка $M_C(1,1,1/2)$ уже найдена.
• Ребро $BB_1$: на этом ребре $x=1$ и $y=0$. Подставляем в $y=2z$: $0=2z \Rightarrow z=0$. Точка $B(1,0,0)$.

Вершинами сечения являются точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $M_C(1,1,1/2)$ и $M_D(0,1,1/2)$. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ABM_CM_D$.

Определим тип четырехугольника $ABM_CM_D$.

• Вектор $\vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$. Длина $AB=1$.
• Вектор $\vec{M_DC_M} = (1-0, 1-1, 1/2-1/2) = (1,0,0)$. Длина $M_CM_D=1$.

Поскольку $\vec{AB} = \vec{M_DM_C}$, стороны $AB$ и $M_CM_D$ параллельны и равны по длине, что означает, что $ABM_CM_D$ является параллелограммом.

Проверим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого достаточно проверить, перпендикулярны ли смежные стороны, например $AB$ и $AM_D$.

• Вектор $\vec{AM_D} = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AM_D}$: $\vec{AB} \cdot \vec{AM_D} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(1/2) = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AM_D}$ перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм $ABM_CM_D$ является прямоугольником.

Описание сечения: Сечение представляет собой прямоугольник $ABM_CM_D$. Одна из его сторон, $AB$, лежит на основании куба $ABCD$. Другая сторона, $M_CM_D$, параллельна $AB$ и проходит через середины вертикальных ребер $CC_1$ и $DD_1$, находясь на высоте $1/2$ от основания куба. Стороны $AM_D$ и $BM_C$ соединяют вершины основания с серединами соответствующих вертикальных ребер.

Ответ: Прямоугольник $ABM_CM_D$.

Найдите его площадь

Так как сечение является прямоугольником, его площадь равна произведению длин смежных сторон. Возьмем стороны $AB$ и $AM_D$.

• Длина стороны $AB = 1$ (как ребро единичного куба).
• Длина стороны $AM_D$: $|AM_D| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь сечения $S$:

$S = AB \cdot AM_D = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.