Номер 15, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AB$ и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь.

Дано

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середину ребра $AB$ (обозначим ее $M$) и перпендикулярно ребру $AB$.

Перевод в СИ

Размерность не указана, принимаем $a = 1$ условная единица длины.

Найти

Площадь сечения $S$.

Решение

1. Определим форму сечения. Поскольку тетраэдр $ABCD$ является правильным (все его ребра равны $a=1$), все его грани являются правильными (равносторонними) треугольниками.

2. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Плоскость сечения проходит через $M$ и перпендикулярна ребру $AB$.

3. Рассмотрим грань $ABC$. Это равносторонний треугольник. Медиана $CM$ является также высотой, поэтому $CM \perp AB$. Следовательно, отрезок $CM$ лежит в плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $M$.

4. Аналогично, рассмотрим грань $ABD$. Это равносторонний треугольник. Медиана $DM$ является также высотой, поэтому $DM \perp AB$. Следовательно, отрезок $DM$ лежит в плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $M$.

5. Таким образом, точки $C$, $M$ и $D$ принадлежат плоскости сечения. Поскольку $C$, $M$, $D$ не лежат на одной прямой (так как $M$ - середина $AB$, а $C$ и $D$ - вершины, не лежащие на $AB$, и $CD$ - ребро тетраэдра), они определяют плоскость.

6. Сечением является треугольник $CMD$.

7. Вычислим длины сторон треугольника $CMD$:

Длина ребра $CD$ равна $a = 1$.

Длина отрезков $CM$ и $DM$ — это высоты равносторонних треугольников со стороной $a=1$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Поэтому $CM = DM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. Таким образом, треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $CD=1$ и боковыми сторонами $CM=DM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Для нахождения площади треугольника $CMD$ проведем высоту $MH$ к основанию $CD$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. Поэтому $H$ — середина $CD$, и $CH = HD = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2}$.

10. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MHD$. По теореме Пифагора:

$MH^2 + HD^2 = MD^2$

$MH^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$MH^2 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$MH^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

$MH^2 = \frac{2}{4}$

$MH^2 = \frac{1}{2}$

$MH = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

11. Площадь треугольника $CMD$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MH$

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{CMD} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ:

Сечением является равнобедренный треугольник со сторонами $1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{4}$.