Номер 14, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AB$ и параллельное грани $BCD$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$ является правильным, все его ребра равны $1$.

Сечение проходит через середину ребра $AB$, обозначим ее точкой $M$.

Плоскость сечения параллельна грани $BCD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Описать сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AB$ и параллельное грани $BCD$.

Обозначим середину ребра $AB$ как точку $M$. Плоскость сечения проходит через точку $M$ и параллельна плоскости грани $BCD$.

По свойству параллельных плоскостей, если плоскость сечения параллельна плоскости $BCD$, то линии пересечения сечения с гранями тетраэдра, содержащими ребра грани $BCD$, будут параллельны этим ребрам.

Рассмотрим грань $ABC$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$. Поскольку плоскость сечения параллельна $BCD$, то она параллельна и ребру $BC$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $ABC$ (назовем ее $MN'$) будет проходить через $M$ и быть параллельной $BC$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), если $M$ - середина $AB$, то $N'$ должна быть серединой ребра $AC$. Таким образом, $MN'$ - средняя линия треугольника $ABC$.

Аналогично, рассмотрим грань $ABD$. Плоскость сечения параллельна ребру $BD$. Линия пересечения плоскости сечения с гранью $ABD$ (назовем ее $MP'$) будет проходить через $M$ и быть параллельной $BD$. Если $M$ - середина $AB$, то $P'$ должна быть серединой ребра $AD$. Таким образом, $MP'$ - средняя линия треугольника $ABD$.

Теперь рассмотрим грань $ACD$. Точки $N'$ (середина $AC$) и $P'$ (середина $AD$) лежат в этой грани. Следовательно, отрезок $N'P'$ является линией пересечения плоскости сечения с гранью $ACD$. Поскольку $N'$ и $P'$ - середины сторон $AC$ и $AD$ соответственно, то $N'P'$ - средняя линия треугольника $ACD$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $MN'P'$, вершины которого являются серединами ребер $AB$, $AC$ и $AD$ соответственно.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник, вершинами которого являются середины ребер $AB$, $AC$ и $AD$.

Найдите его площадь.

Мы установили, что сечение - это треугольник $MN'P'$, где $M$, $N'$, $P'$ - середины ребер $AB$, $AC$, $AD$ соответственно.

Поскольку $MN'$ является средней линией треугольника $ABC$, ее длина равна половине длины стороны $BC$. То есть, $MN' = \frac{BC}{2}$.

Аналогично, $MP' = \frac{BD}{2}$ и $N'P' = \frac{CD}{2}$.

По условию, тетраэдр правильный, и все его ребра равны $a=1$. Следовательно, $BC=BD=CD=a=1$.

Тогда стороны треугольника сечения равны:

$MN' = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

$MP' = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

$N'P' = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, сечение $MN'P'$ является равносторонним треугольником со стороной $s = \frac{1}{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $s = \frac{1}{2}$:

$S = \frac{(\frac{1}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{1}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{16}$.