Номер 16, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AD$ и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь.

Дано:
Тетраэдр $ABCD$.
Все ребра равны $1$.
Сечение проходит через середину ребра $AD$.
Сечение перпендикулярно ребру $AD$.

Перевод данных в СИ:
Длина ребра $a = 1$ (условные единицы длины).

Найти:
Площадь сечения.

Решение:
Пусть $M$ — середина ребра $AD$.
Поскольку тетраэдр $ABCD$ является правильным (все его ребра равны 1), все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $1$.
Рассмотрим грань $ABD$. Так как $\triangle ABD$ равносторонний и $M$ — середина $AD$, отрезок $BM$ является медианой, а следовательно, и высотой этого треугольника. Таким образом, $BM \perp AD$.
Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Так как $\triangle ACD$ равносторонний и $M$ — середина $AD$, отрезок $CM$ является медианой, а следовательно, и высотой этого треугольника. Таким образом, $CM \perp AD$.
Плоскость, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $AD$, должна содержать все прямые, проходящие через $M$ и перпендикулярные $AD$. Поскольку $BM \perp AD$ и $CM \perp AD$, то точки $B, C, M$ лежат в искомой плоскости сечения. Таким образом, искомым сечением является треугольник $BCM$.
Найдем длины сторон треугольника $BCM$:
1. Сторона $BC$ является ребром тетраэдра, поэтому $BC = 1$.
2. Сторона $BM$ является высотой равностороннего треугольника со стороной $a=1$. Высота $h$ равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Сторона $CM$ также является высотой равностороннего треугольника со стороной $a=1$.
Таким образом, $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $BCM$ со сторонами $BC=1$, $BM = CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для вычисления площади $\triangle BCM$ найдем его высоту, опущенную из вершины $M$ на основание $BC$. Пусть $P$ — середина $BC$. Тогда $MP$ — высота треугольника $BCM$.
В прямоугольном треугольнике $BMP$ (так как $MP \perp BC$) имеем $BP = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$.
По теореме Пифагора:
$MP^2 = BM^2 - BP^2$
$MP^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$MP^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$MP^2 = \frac{2}{4}$
$MP^2 = \frac{1}{2}$
$MP = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Площадь треугольника $BCM$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MP$
$S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S_{BCM} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.