Номер 6, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, BC, CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $AD$, $BC$ и $CC_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины, не требующая перевода).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A$. Пусть ребро $AB$ лежит вдоль оси $x$, ребро $AD$ вдоль оси $y$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $z$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

1. Пусть $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$. $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

2. Пусть $N$ - середина ребра $BC$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. $N = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.

3. Пусть $P$ - середина ребра $CC_1$. Координаты $C(1,1,0)$ и $C_1(1,1,1)$. $P = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 1, 0.5)$.

Изобразите сечение:

Для определения формы сечения найдем все точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба. У нас есть три точки: $M(0, 0.5, 0)$, $N(1, 0.5, 0)$, $P(1, 1, 0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $M$, $N$, $P$. Вектор $\vec{MN} = N - M = (1-0, 0.5-0.5, 0-0) = (1, 0, 0)$. Вектор $\vec{MP} = P - M = (1-0, 1-0.5, 0.5-0) = (1, 0.5, 0.5)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MN} \times \vec{MP}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0.5 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) = (0, -0.5, 0.5)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=0, B=-0.5, C=0.5$: $0x - 0.5y + 0.5z + D = 0$. Чтобы найти $D$, подставим координаты точки $M(0, 0.5, 0)$: $0(0) - 0.5(0.5) + 0.5(0) + D = 0$ $-0.25 + D = 0 \Rightarrow D = 0.25$.

Уравнение секущей плоскости: $-0.5y + 0.5z + 0.25 = 0$. Для упрощения умножим на 4: $-2y + 2z + 1 = 0$, или $2y - 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба:

Ребро $DD_1$: $x=0$, $y=1$, $z \in [0,1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 2z - 1 = 0$ $2 - 2z - 1 = 0$ $1 - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $Q(0, 1, 0.5)$. Так как $0 \le 0.5 \le 1$, эта точка лежит на ребре $DD_1$. $Q$ является серединой ребра $DD_1$.

Остальные ребра (например, $AB, CD, AA_1, BB_1, A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, A_1D_1$) не пересекаются с данной плоскостью внутри своего отрезка (как было проверено в черновике, либо точки пересечения лежат вне диапазона $[0,1]$ для соответствующей координаты).

Таким образом, сечение куба - это четырехугольник $MNPQ$. Вершины сечения: $M(0, 0.5, 0)$ - середина $AD$. $N(1, 0.5, 0)$ - середина $BC$. $P(1, 1, 0.5)$ - середина $CC_1$. $Q(0, 1, 0.5)$ - середина $DD_1$.

Определим вид четырехугольника $MNPQ$. Длины сторон: $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$. $NP = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $PQ = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$. $QM = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $MN=PQ$ и $NP=QM$, четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Проверим, является ли он прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$: $\vec{MN} = (1, 0, 0)$ $\vec{NP} = (0, 0.5, 0.5)$ $\vec{MN} \cdot \vec{NP} = (1)(0) + (0)(0.5) + (0)(0.5) = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, то есть $MN \perp NP$. Следовательно, $MNPQ$ является прямоугольником.

Сечением является прямоугольник $MNPQ$, где $M$ - середина $AD$, $N$ - середина $BC$, $P$ - середина $CC_1$, и $Q$ - середина $DD_1$.

Найдите его площадь:

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению длин его смежных сторон: $S = MN \times NP$. $S = 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Сечением является прямоугольник с вершинами в серединах ребер $AD$, $BC$, $CC_1$ и $DD_1$. Его площадь составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.