Номер 4, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, C$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Длина ребра куба $a = 1$.
Сечение проходит через вершины A, C, $C_1$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины A, C и $C_1$.

Рассмотрим вершины A, C и $C_1$ единичного куба. Точки A и C лежат в нижней грани ABCD. Отрезок AC является диагональю этой грани. Точки C и $C_1$ лежат в боковой грани $BCC_1B_1$. Отрезок $CC_1$ является ребром куба. Сечение, проходящее через три данные точки, является плоскостью. Эта плоскость пересекает куб, образуя многоугольник. Поскольку ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$ (как противоположные ребра куба), а отрезок AC является диагональю нижней грани, параллельной диагонали $A_1C_1$ верхней грани, то точки A, C, $C_1$ и $A_1$ лежат в одной плоскости. Так как $AC \parallel A_1C_1$ и $AA_1 \parallel CC_1$, и все углы в кубе прямые, то четырехугольник $ACC_1A_1$ является прямоугольником. Таким образом, сечением, проходящим через вершины A, C и $C_1$, является прямоугольник $ACC_1A_1$.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник $ACC_1A_1$.

Найдите его площадь.

Сечение является прямоугольником $ACC_1A_1$. Для нахождения его площади необходимо найти длины его смежных сторон, которыми являются $AC$ и $CC_1$. Длина ребра единичного куба $a = 1$. Одна из сторон прямоугольника - это ребро куба $CC_1$. Следовательно, $CC_1 = a = 1$. Вторая сторона прямоугольника - это диагональ AC нижней грани куба. Нижняя грань ABCD является квадратом со стороной $a = 1$. Длину диагонали квадрата можно найти по теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику ABC (или ADC): $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $AC^2 = a^2 + a^2$ $AC^2 = 1^2 + 1^2$ $AC^2 = 1 + 1$ $AC^2 = 2$ $AC = \sqrt{2}$. Площадь прямоугольника $ACC_1A_1$ вычисляется как произведение длин его сторон: $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot CC_1$ $S_{ACC_1A_1} = \sqrt{2} \cdot 1$ $S_{ACC_1A_1} = \sqrt{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\sqrt{2}$.