Номер 39, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CED_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Пояснение: это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CED_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

1. Ввод системы координат

Разместим центр нижнего основания призмы в начале координат $O(0, 0, 0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oy$ направим так, чтобы она была перпендикулярна $Ox$ и лежала в плоскости основания. Ось $Oz$ направим вверх вдоль высоты призмы.

Так как призма правильная шестиугольная и сторона основания $a=1$, координаты вершин нижнего основания будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате соответствующих вершин нижнего основания:

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

2. Нахождение уравнения плоскости $CED_1$

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты точек $C$, $E$, $D_1$ в это уравнение:

Для точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$:

$A(-1/2) + B(\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \implies -A/2 + B\sqrt{3}/2 + D = 0 \quad (1)$

Для точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$:

$A(-1/2) + B(-\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \implies -A/2 - B\sqrt{3}/2 + D = 0 \quad (2)$

Для точки $D_1(-1, 0, 1)$:

$A(-1) + B(0) + C(1) + D = 0 \implies -A + C + D = 0 \quad (3)$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(-A/2 + B\sqrt{3}/2 + D) - (-A/2 - B\sqrt{3}/2 + D) = 0$

$B\sqrt{3} = 0 \implies B = 0$.

Подставим $B=0$ в уравнение (1):

$-A/2 + D = 0 \implies A = 2D$.

Подставим $B=0$ и $A=2D$ в уравнение (3):

$-(2D) + C + D = 0 \implies -D + C = 0 \implies C = D$.

Таким образом, коэффициенты плоскости пропорциональны $A=2D, B=0, C=D$.

Для удобства выберем $D=2$. Тогда $A=4, B=0, C=2$.

Уравнение плоскости $CED_1$ будет $4x + 0y + 2z + 2 = 0$, что упрощается до $2x + z + 1 = 0$.

3. Вычисление расстояния от точки до плоскости

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, и уравнение плоскости $2x + 0y + 1z + 1 = 0$.

Здесь $A=2, B=0, C=1, D=1$. А $x_0=1/2, y_0=\sqrt{3}/2, z_0=0$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|2(1/2) + 0(\sqrt{3}/2) + 1(0) + 1|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{4 + 0 + 1}}$

$d = \frac{|2|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.