Номер 37, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$. То есть, $AB = BC = \dots = FA = 1$ и $AA_1 = BB_1 = \dots = FF_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE_1$.

Решение:

Введем систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны $1$, радиус описанной окружности около правильного шестиугольника равен его стороне. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = 1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы также равна $1$, поэтому координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Для определения уравнения плоскости $ACE_1$ используем точки $A(1, 0, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACE_1$ находится как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2}) + \mathbf{k}(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{6\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можем умножить вектор нормали на $2$, получим $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3})$, получаем:

$\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z + D = 0$

Подставим координаты точки $A(1, 0, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D$:

$\sqrt{3}(1) + 3(0) + 3\sqrt{3}(0) + D = 0 \Rightarrow \sqrt{3} + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $ACE_1$ есть $\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Разделим все коэффициенты на $\sqrt{3}$ для упрощения: $x + \sqrt{3}y + 3z - 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $x + \sqrt{3}y + 3z - 1 = 0$.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения: $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, и $A=1, B=\sqrt{3}, C=3, D=-1$.

$d = \frac{|1(1/2) + \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) + 3(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|1/2 + 3/2 + 0 - 1|}{\sqrt{1 + 3 + 9}}$

$d = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{13}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE_1$ составляет $\frac{\sqrt{13}}{13}$.