gdz.top
Номер 6, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Обобщающее повторение. Расстояние от точки до плоскости - номер 6, страница 164.
№5
№6 (с. 164)
Условие. №6 (с. 164)
6. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
7. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой
Решение. №6 (с. 164)
Решение 2 (rus). №6 (с. 164)
Дано:
Единичный тетраэдр $ABCD$.
Длина ребра тетраэдра $a = 1$.
Перевод в СИ:
Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина или в условных единицах длины, так как "единичный" означает, что длина ребра равна 1 единице измерения без уточнения ее типа).
Найти:
Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, то есть высоту тетраэдра $h$.
Решение:
Единичный тетраэдр является правильным тетраэдром, все ребра которого имеют одинаковую длину $a=1$.
Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ - это высота $h$ тетраэдра, опущенная из вершины $D$ на основание $ABC$.
Объем правильного тетраэдра можно выразить двумя способами:
1. Через длину ребра $a$:
$V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$
2. Через площадь основания $S_{ABC}$ и высоту $h$:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} h$
Основание $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
Теперь приравняем два выражения для объема:
$\frac{1}{3} S_{ABC} h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$
Подставим выражение для $S_{ABC}$:
$\frac{1}{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right) h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$
Выразим высоту $h$:
$h = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} \cdot \frac{12}{\sqrt{3} a^2}$
$h = \frac{12 a^3}{6\sqrt{2}\sqrt{3} a^2}$
$h = \frac{2a}{\sqrt{6}}$
Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:
$h = \frac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}}$
$h = \frac{2a\sqrt{6}}{6}$
$h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Поскольку тетраэдр единичный, длина его ребра $a=1$. Подставим это значение:
$h = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{3}$
$h = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Ответ:
Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 164 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №6 (с. 164), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.