Номер 7, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

плоскости ABC.

7. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $ACB_1$.

Дано:Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.Все ребра равны 1. То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра призмы как $a = 1$.

Рассмотрим основание $ABC$ призмы. Оно является равносторонним треугольником со стороной $a=1$.

Пусть $M$ — середина ребра $AC$. Тогда отрезок $BM$ является медианой и высотой равностороннего треугольника $ABC$.

Длина высоты $BM$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $BM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1 \perp AC$ и $BB_1 \perp BM$.

Поскольку $AC \perp BM$ (так как $BM$ — высота) и $AC \perp BB_1$ (так как $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, в которой лежит $AC$), то прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BM$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BB_1M$. Отсюда следует, что $AC \perp$ плоскости $BB_1M$.

Плоскость $ACB_1$ содержит прямую $AC$. Если прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BB_1M$, то и плоскость $ACB_1$ (содержащая $AC$) перпендикулярна плоскости $BB_1M$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $ACB_1$. Поскольку точка $B$ лежит в плоскости $BB_1M$, и плоскости $ACB_1$ и $BB_1M$ взаимно перпендикулярны, то искомое расстояние равно длине высоты, опущенной из точки $B$ на линию пересечения этих двух плоскостей.

Линия пересечения плоскостей $ACB_1$ и $BB_1M$ — это прямая $MB_1$.

Рассмотрим треугольник $BB_1M$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $BB_1 \perp BM$ (угол $B$ прямой).Его катеты:$BB_1 = 1$ (длина ребра призмы).$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем длину гипотенузы $MB_1$ по теореме Пифагора:$MB_1 = \sqrt{BB_1^2 + BM^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4+3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Пусть $h$ — искомое расстояние, то есть длина высоты, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $MB_1$ в прямоугольном треугольнике $BB_1M$.Площадь треугольника $BB_1M$ можно выразить двумя способами:$S = \frac{1}{2} \cdot \text{произведение катетов} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BM$.$S = \frac{1}{2} \cdot \text{гипотенуза} \cdot \text{высота к гипотенузе} = \frac{1}{2} \cdot MB_1 \cdot h$.

Приравниваем эти выражения:$\frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot MB_1 \cdot h$$BB_1 \cdot BM = MB_1 \cdot h$

Выразим $h$:$h = \frac{BB_1 \cdot BM}{MB_1}$$h = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:$h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$.