Номер 3, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$.

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина A находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра AB, AD, $AA_1$ лежали вдоль положительных полуосей Ox, Oy, Oz соответственно.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1. Тогда координаты необходимых вершин будут:

• Точка A: $(0,0,0)$
• Точка B: $(1,0,0)$ (поскольку AB лежит вдоль Ox)
• Точка C: $(1,1,0)$ (поскольку AD вдоль Oy, BC параллельно AD)
• Точка $D_1$: $(0,1,1)$ (поскольку $D$ на Oy, $D_1$ над D по Oz)

Сначала найдем уравнение плоскости $ACD_1$. Плоскость проходит через точки A$(0,0,0)$, C$(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, исходящие из одной точки (например, A):

• Вектор $\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$
• Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACD_1$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставив компоненты нормального вектора, получаем $1x - 1y + 1z + D = 0$, или $x - y + z + D = 0$.

Поскольку плоскость проходит через точку A$(0,0,0)$, подставим ее координаты в уравнение для нахождения D:

$0 - 0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$ есть $x - y + z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки B$(1,0,0)$ до плоскости $x - y + z = 0$.

Формула расстояния $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, $(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$ и уравнение плоскости $1x - 1y + 1z + 0 = 0$, где $A=1, B=-1, C=1, D=0$.

$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки B до плоскости $ACD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.