Номер 29, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра призмы равны $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве удобно использовать метод координат. Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку все ребра призмы равны $1$, это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h=1$ к $z$-координате:

• $A_1 = (1, 0, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой $FA_1$.

Найдем вектор, направляющий прямую $FA_1$. Возьмем точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$. Вектор $\vec{v} = \vec{FA_1} = A_1 - F = (1 - \frac{1}{2}, 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Также найдем вектор $\vec{QP}$, где $Q$ - это точка $F$ на прямой, а $P$ - это точка $B$. $\vec{FB} = B - F = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Расстояние $d$ от точки $P$ до прямой, проходящей через точку $Q$ с направляющим вектором $\vec{v}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{||\vec{QP} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{FB} \times \vec{FA_1}$: $\vec{FB} \times \vec{FA_1} = (0, \sqrt{3}, 0) \times (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) = $$( \sqrt{3} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 1, \quad 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} )$$= (\sqrt{3}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль этого векторного произведения: $||\vec{FB} \times \vec{FA_1}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3 + 0 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{v} = \vec{FA_1}$: $||\vec{FA_1}|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь вычислим расстояние $d$: $d = \frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ для избавления от иррациональности в знаменателе: $d = \frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{30}}{4}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{30}}{4}$