Номер 28, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до прямой воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в центре нижнего основания $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, а длина стороны шестиугольника $a=1$, координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Так как все ребра равны 1, высота призмы также равна 1. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, увеличенную на 1.

$A_1 = (1, 0, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Для нахождения расстояния $d$ от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$, используется формула:

$d = \frac{|\vec{P_1P_0} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

В нашем случае:

Точка $P_0 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Точка на прямой $P_1 = D(-1, 0, 0)$

Направляющий вектор прямой $DA_1$: $\vec{v} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$.

Вектор $\vec{P_1P_0} = \vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DA_1}$:

$\vec{DB} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(3/2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(3/2 \cdot 0 - \sqrt{3}/2 \cdot 2)$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(3/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3})$

$= (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$

Найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{DB} \times \vec{DA_1}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 3} = \sqrt{\frac{12}{4} + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{DA_1}$:

$|\vec{DA_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{DB} \times \vec{DA_1}|}{|\vec{DA_1}|} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$ составляет $\frac{\sqrt{30}}{5}$.