Номер 27, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $FC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длины всех ребер призмы равны $1$. То есть, $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FC_1$.

Решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Поскольку призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. Длина стороны шестиугольника равна $1$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен длине стороны. То есть, расстояние от центра до любой вершины равно $1$.

Расположим вершины нижнего основания следующим образом: $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $A = (1, 0, 0)$ $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна длине ребра, то есть $1$. Координаты точки $C_1$ будут: $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Таким образом, мы имеем координаты следующих точек: $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Расстояние от точки до прямой можно найти как высоту треугольника, построенного на этой точке и двух точках, лежащих на прямой. В данном случае, это высота $h$ треугольника $FBC_1$, опущенная из вершины $B$ на сторону $FC_1$. Площадь треугольника $FBC_1$ может быть найдена как половина модуля векторного произведения векторов $\vec{FB}$ и $\vec{FC_1}$.

Найдем векторы $\vec{FB}$ и $\vec{FC_1}$: $\vec{FB} = B - F = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$ $\vec{FC_1} = C_1 - F = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$

Вычислим векторное произведение $\vec{FB} \times \vec{FC_1}$: $$ \vec{FB} \times \vec{FC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ -1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} $$ $$ = \mathbf{i}(\sqrt{3} \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot (-1)) $$ $$ = \mathbf{i}(\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(\sqrt{3}) = (\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}) $$

Найдем модуль векторного произведения: $$ |\vec{FB} \times \vec{FC_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 0 + 3} = \sqrt{6} $$

Площадь треугольника $FBC_1$ равна $S = \frac{1}{2} |\vec{FB} \times \vec{FC_1}| = \frac{1}{2}\sqrt{6}$.

Теперь найдем длину стороны $FC_1$: $$ |\vec{FC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5} $$

Расстояние $h$ от точки $B$ до прямой $FC_1$ является высотой треугольника $FBC_1$, опущенной на сторону $FC_1$. Используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $$ \frac{1}{2}\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h $$ $$ h = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} $$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $$ h = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5} $$

Ответ:

$\frac{\sqrt{30}}{5}$