Номер 18, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Решение

Для определения расстояния от точки до прямой воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно длине ребра, то есть 1.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$), если вершина $F$ расположена на положительной оси $x$:

- $F = (1, 0, 0)$

- $E = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

- $B = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы равна длине ребра, то есть 1. Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$):

- $F_1 = (1, 0, 1)$

- $E_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Итак, нам нужно найти расстояние от точки $B(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ до прямой, проходящей через точки $F(1, 0, 0)$ и $E_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Рассмотрим треугольник $BFE_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $FE_1$.

Найдем длины сторон треугольника $BFE_1$:

Длина $BF$: это малая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Малая диагональ равна $a\sqrt{3}$.
$BF = \sqrt{(1 - (-1/2))^2 + (0 - (-\sqrt{3}/2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Длина $FE_1$: это диагональ боковой грани $EFF_1E_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1, так как $EF=1$ (ребро основания) и $EE_1=1$ (ребро призмы).
$FE_1 = \sqrt{(1/2 - 1)^2 + (\sqrt{3}/2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина $BE_1$: для её нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$ с прямым углом при вершине $E$. $EE_1 = 1$ (высота призмы).
$BE$ — это большая диагональ основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ большая диагональ равна $2a$. Следовательно, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
По теореме Пифагора для $\triangle BEE_1$:
$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
$BE_1 = \sqrt{5}$.

Итак, у нас есть треугольник $BFE_1$ со сторонами $BF = \sqrt{3}$, $FE_1 = \sqrt{2}$, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Применим теорему косинусов для угла $\angle BFE_1$ в $\triangle BFE_1$:

$BE_1^2 = BF^2 + FE_1^2 - 2 \cdot BF \cdot FE_1 \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$(\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$5 = 3 + 2 - 2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$5 = 5 - 2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$0 = -2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

Из этого равенства следует, что $\cos(\angle BFE_1) = 0$.

Следовательно, $\angle BFE_1 = 90^\circ$.

Поскольку угол $\angle BFE_1$ равен $90^\circ$, треугольник $BFE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$. Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ в этом случае равно длине катета $BF$, который перпендикулярен прямой $FE_1$.

Мы ранее вычислили $BF = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ равно $\sqrt{3}$.