Номер 26, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Пусть середина ребра $AB$ будет точка $M$.

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в безразмерном виде или в единичных отрезках, что не требует перевода в систему СИ.

Найти:

Изображение сечения.

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для построения сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящего через вершины $C$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (точку $M$), выполним следующие шаги:

1. Нарисуйте нижнее основание $ABC$ в виде равностороннего треугольника со стороной 1.

2. От каждой вершины $A, B, C$ проведите перпендикулярные к плоскости основания отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$, равные 1. Это боковые ребра призмы.

3. Соедините вершины $A_1, B_1, C_1$ для образования верхнего основания призмы.

4. Отметьте на ребре $AB$ его середину – точку $M$.

5. Соедините точки $C$, $C_1$ и $M$ отрезками. Получится треугольник $CC_1M$. Этот треугольник и является искомым сечением.

Сечение представляет собой треугольник $CC_1M$, соединяющий вершину $C$ нижнего основания, соответствующую вершину $C_1$ верхнего основания, и середину $M$ ребра $AB$ нижнего основания.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $CC_1M$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади сечения $CC_1M$ определим длины его сторон и тип треугольника.

1. Длина ребра $CC_1$ является боковым ребром призмы, которое по условию равно 1.

2. Рассмотрим нижнее основание $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Точка $M$ – середина ребра $AB$. Следовательно, $CM$ является медианой, проведенной к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому длина отрезка $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$ и проходящей через $C$, в том числе и отрезку $CM$.

Таким образом, треугольник $CC_1M$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $C$. Катетами этого треугольника являются $CC_1$ и $CM$.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. В данном случае:

$S_{CC_1M} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{CC_1M} = \frac{1}{2} \cdot CC_1 \cdot CM$

Подставим найденные значения длин катетов:

$S_{CC_1M} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{CC_1M} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{4}$.