Номер 93, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

93. Изобразите сечение пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через вершины $A$, $F$ и середину ребра $SC$. Найдите его площадь.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$.

Основание $ABCDEF$ - правильный шестиугольник со стороной $a = 1$.

Боковые ребра $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Сечение проходит через вершины $A$, $F$ и середину ребра $SC$, обозначим ее $M$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в единой системе без конкретных единиц измерения, что соответствует условиям задачи (например, метры, сантиметры или условные единицы).

Найти:

1. Изобразить сечение пирамиды.

2. Площадь сечения.

Решение:

1.Изображение сечения:

Для того чтобы изобразить сечение пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $F$ и $M$ (середину $SC$), выполним следующие шаги:

1. Нарисуйте правильный шестиугольник $ABCDEF$ в качестве основания пирамиды.

2. Обозначьте центр основания $O$. Так как пирамида правильная (все боковые ребра равны, а основание - правильный многоугольник), вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания.

3. Соедините вершину $S$ со всеми вершинами основания ($A, B, C, D, E, F$), чтобы получить боковые ребра пирамиды.

4. Отметьте точку $M$ как середину ребра $SC$.

5. Плоскость сечения определяется тремя точками $A, F, M$.

6. Поскольку точки $A$ и $F$ лежат в плоскости основания, отрезок $AF$ является одной из сторон искомого сечения.

7. Точки $A$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $SAC$. Отрезок $AM$ является второй стороной сечения.

8. Точки $F$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $SFC$. Отрезок $FM$ является третьей стороной сечения.

9. Таким образом, сечение пирамиды плоскостью $AFM$ представляет собой треугольник $AFM$.

2.Нахождение площади сечения:

Для нахождения площади треугольника $AFM$ нам необходимо знать длины его сторон. Найдем их:

• Длина стороны $AF$:

  Вершины $A$ и $F$ являются соседними вершинами правильного шестиугольника $ABCDEF$. Сторона основания шестиугольника равна $1$. Следовательно, отрезок, соединяющий две соседние вершины, является стороной шестиугольника.

  $AF = 1$.

• Длина стороны $AM$:

  Рассмотрим треугольник $SAC$. Известны длины боковых ребер $SA=2$ и $SC=2$. Длина диагонали $AC$ правильного шестиугольника (проходящей через центр) равна удвоенной длине стороны основания, т.е. $AC = 2 \cdot 1 = 2$.

  Таким образом, треугольник $SAC$ является равносторонним треугольником со стороной $2$.

  Точка $M$ является серединой ребра $SC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой.

  Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $l$ вычисляется по формуле $l\frac{\sqrt{3}}{2}$.

  $AM = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

• Длина стороны $FM$:

  Рассмотрим треугольник $SFC$. Известны длины боковых ребер $SF=2$ и $SC=2$. Длина диагонали $FC$ правильного шестиугольника, соединяющей вершины через одну, равна $a\sqrt{3}$, где $a$ - длина стороны шестиугольника. В нашем случае $a=1$, поэтому $FC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

  Таким образом, треугольник $SFC$ является равнобедренным с $SF=SC=2$ и $FC=\sqrt{3}$.

  Точка $M$ является серединой ребра $SC$, то есть $SM = MC = SC/2 = 2/2 = 1$.

  Применим теорему Аполлония (или теорему о медиане) для треугольника $SFC$ и медианы $FM$:

  $SF^2 + FC^2 = 2(FM^2 + MC^2)$

  Подставим известные значения:

  $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 2(FM^2 + 1^2)$

  $4 + 3 = 2(FM^2 + 1)$

  $7 = 2FM^2 + 2$

  $2FM^2 = 5$

  $FM^2 = \frac{5}{2}$

  $FM = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $AFM$:

$AF = 1$

$AM = \sqrt{3}$

$FM = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Для нахождения площади треугольника $AFM$ воспользуемся формулой площади через две стороны и синус угла между ними. Найдем косинус угла $\angle FAM$ по теореме косинусов в $\triangle AFM$:

$FM^2 = AF^2 + AM^2 - 2 \cdot AF \cdot AM \cdot \cos(\angle FAM)$

$(\frac{\sqrt{10}}{2})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle FAM)$

$\frac{10}{4} = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cos(\angle FAM)$

$\frac{5}{2} = 4 - 2\sqrt{3} \cos(\angle FAM)$

$2\sqrt{3} \cos(\angle FAM) = 4 - \frac{5}{2}$

$2\sqrt{3} \cos(\angle FAM) = \frac{8-5}{2}$

$2\sqrt{3} \cos(\angle FAM) = \frac{3}{2}$

$\cos(\angle FAM) = \frac{3/2}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем синус угла $\angle FAM$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2(\angle FAM) = 1 - \cos^2(\angle FAM)$

$\sin^2(\angle FAM) = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16-3}{16} = \frac{13}{16}$.

Поскольку $\angle FAM$ является углом треугольника, его синус положителен.

$\sin(\angle FAM) = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$.

Площадь треугольника $AFM$ вычисляется по формуле:

$S_{AFM} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AM \cdot \sin(\angle FAM)$

$S_{AFM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{4}$

$S_{AFM} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}{8} = \frac{\sqrt{39}}{8}$.

Ответ:

Сечение представляет собой треугольник $AFM$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{39}}{8}$.