Номер 100, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

100. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребер $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$ как $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Тогда $AM = MA_1 = AA_1/2 = 1/2$. Аналогично $BN = NB_1 = BB_1/2 = 1/2$. И $A_1K = KC_1 = A_1C_1/2 = 1/2$.

Изобразить сечение

Сечением является многоугольник, образованный пересечением плоскости, проходящей через точки $M$, $N$, $K$, с гранями призмы. Поскольку три точки не лежат на одной прямой и принадлежат разным граням, сечением будет треугольник $MNK$.

Для построения сечения:

1. Нарисуйте правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ - нижнее основание, $A_1B_1C_1$ - верхнее основание, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ - боковые ребра.
2. Отметьте точку $M$ как середину ребра $AA_1$.
3. Отметьте точку $N$ как середину ребра $BB_1$.
4. Отметьте точку $K$ как середину ребра $A_1C_1$.
5. Соедините точки $M$, $N$ и $K$ отрезками. Полученный треугольник $MNK$ является искомым сечением.

Определим длины сторон треугольника $MNK$:

1. Отрезок $MN$: Точки $M$ и $N$ являются серединами параллельных и равных ребер $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, отрезок $MN$ параллелен $AB$ и $A_1B_1$, и его длина равна длине ребра основания призмы.

$MN = AB = 1$.

2. Отрезок $KM$: Точка $M$ - середина $AA_1$, $K$ - середина $A_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1MK$. Угол $\angle MA_1K = 90^\circ$, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Катеты $A_1M = 1/2$ и $A_1K = 1/2$. По теореме Пифагора:

$KM = \sqrt{A_1M^2 + A_1K^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Отрезок $NK$: Точка $N$ - середина $BB_1$, $K$ - середина $A_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NB_1K$. Угол $\angle NB_1K = 90^\circ$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Катет $NB_1 = 1/2$. Катет $B_1K$ является медианой равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ со стороной 1 (поскольку призма правильная, основания - равносторонние треугольники). Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$. В данном случае $a=1$, поэтому $B_1K = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора:

$NK = \sqrt{NB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, сечение является равнобедренным треугольником $MNK$ со сторонами $MN=1$, $NK=1$, $KM=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Сечением является равнобедренный треугольник $MNK$ со сторонами $MN=1$, $NK=1$, $KM=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найти его площадь

Площадь равнобедренного треугольника $MNK$ с боковыми сторонами $MN=NK=1$ и основанием $KM=\frac{\sqrt{2}}{2}$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Опустим высоту $NP$ из вершины $N$ на основание $KM$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $P$ - середина $KM$.

Длина отрезка $KP = \frac{KM}{2} = \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $NPK$. По теореме Пифагора:

$NP^2 = NK^2 - KP^2$

$NP^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Высота $NP = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $MNK$:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}$.

$S_{MNK} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{16} = \frac{\sqrt{28}}{16} = \frac{\sqrt{4 \cdot 7}}{16} = \frac{2\sqrt{7}}{16} = \frac{\sqrt{7}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{8}$.