Номер 101, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

101. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

102. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и $A_1B_1$.

Данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Пусть $M$ - середина ребра $AA_1$, $N$ - середина ребра $CC_1$, $K$ - середина ребра $A_1B_1$. Эти три точки определяют плоскость сечения.
1. Соединим точки $M$ и $N$. Они лежат в боковой грани $AA_1C_1C$. Так как $M$ и $N$ являются серединами параллельных ребер $AA_1$ и $CC_1$, то отрезок $MN$ параллелен $AC$ и $A_1C_1$. Длина отрезка $MN$ равна длине ребра основания, то есть $MN = 1$.
2. Плоскость сечения содержит прямую $MN$. Поскольку $MN \parallel A_1C_1$, а ребро $A_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, то линия пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $A_1B_1C_1$ должна быть параллельна $A_1C_1$. Эта линия проходит через точку $K$ (середину $A_1B_1$).
3. Проведем через точку $K$ в плоскости $A_1B_1C_1$ прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $L$. Поскольку $K$ - середина $A_1B_1$ и $KL \parallel A_1C_1$, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника) $L$ должна быть серединой ребра $B_1C_1$. Длина отрезка $KL$ равна половине длины $A_1C_1$, то есть $KL = 1/2$.
4. Таким образом, сечение является четырехугольником $MNLK$. Его вершины: $M$ - середина $AA_1$, $N$ - середина $CC_1$, $K$ - середина $A_1B_1$, $L$ - середина $B_1C_1$.
5. Из построения следует, что $MN \parallel A_1C_1$ и $KL \parallel A_1C_1$, значит $MN \parallel KL$. Следовательно, четырехугольник $MNLK$ является трапецией с основаниями $MN$ и $KL$.
Найдем длины боковых сторон трапеции $MK$ и $NL$.
Для $MK$: рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $MK$, проекцией $MK$ на плоскость основания и перпендикуляром.
Введем систему координат. Пусть $A=(0,0,0)$. Тогда $A_1=(0,0,1)$. Поскольку призма правильная, основание $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной 1.
Координаты вершин:
$A=(0,0,0)$, $A_1=(0,0,1)$
$B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$
$C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
Координаты середин ребер:
$M = (0,0,1/2)$ (середина $AA_1$)
$N = (1/2, \sqrt{3}/2, 1/2)$ (середина $CC_1$)
$K = ( (0+1)/2, (0+0)/2, (1+1)/2 ) = (1/2, 0, 1)$ (середина $A_1B_1$)
$L = ( (1+1/2)/2, (0+\sqrt{3}/2)/2, (1+1)/2 ) = (3/4, \sqrt{3}/4, 1)$ (середина $B_1C_1$)
Длины сторон:
$MN = \sqrt{(1/2-0)^2 + (\sqrt{3}/2-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$. (Основание трапеции)
$KL = \sqrt{(3/4-1/2)^2 + (\sqrt{3}/4-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1/4)^2 + (\sqrt{3}/4)^2 + 0} = \sqrt{1/16 + 3/16} = \sqrt{4/16} = \sqrt{1/4} = 1/2$. (Основание трапеции)
$MK = \sqrt{(1/2-0)^2 + (0-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 0 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. (Боковая сторона)
$NL = \sqrt{(3/4-1/2)^2 + (\sqrt{3}/4-\sqrt{3}/2)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{(1/4)^2 + (-\sqrt{3}/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/16 + 3/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 1/4} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. (Боковая сторона)
Так как $MK = NL$, трапеция $MNLK$ является равнобедренной.
Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $MNLK$, где $M$ - середина $AA_1$, $N$ - середина $CC_1$, $K$ - середина $A_1B_1$, $L$ - середина $B_1C_1$. Основания трапеции $MN=1$ и $KL=1/2$, боковые стороны $MK=NL=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдите его площадь:

Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота трапеции.
Основания трапеции: $a = MN = 1$, $b = KL = 1/2$.
Боковые стороны: $c = MK = NL = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для нахождения высоты $h$ равнобедренной трапеции опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее основание. Длина проекции боковой стороны на большее основание равна $x = \frac{a-b}{2}$.
$x = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = 1/4$.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и отрезком $x$:
$h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + (1/4)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
$h^2 + 1/16 = 2/4 = 1/2$
$h^2 = 1/2 - 1/16 = 8/16 - 1/16 = 7/16$
$h = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Площадь сечения:
$S = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $S = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.