Номер 108, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

108. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $CC_1$ и $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.Все рёбра призмы равны $a = 1$.Сечение проходит через середины рёбер $AC$, $CC_1$ и $B_1C_1$.

Перевод данных в систему СИ:Длина ребра $a = 1$ (единица длины). Поскольку в задаче не указаны конкретные единицы, результат будет также выражен в соответствующих квадратных единицах.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Обозначим середины рёбер $AC$, $CC_1$ и $B_1C_1$ как точки $M$, $N$ и $P$ соответственно.

1. Найдем длины сторон треугольника $MNP$.

* Длина отрезка $MN$: Точка $M$ - середина $AC$, значит $MC = AC/2 = 1/2$. Точка $N$ - середина $CC_1$, значит $CN = CC_1/2 = 1/2$. Треугольник $MCC_1$ является прямоугольным, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $CC_1 \perp MC$. По теореме Пифагора для $\triangle MNC$: $MN^2 = MC^2 + CN^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $MN = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

* Длина отрезка $NP$: Точка $N$ - середина $CC_1$, значит $NC_1 = CC_1/2 = 1/2$. Точка $P$ - середина $B_1C_1$, значит $PC_1 = B_1C_1/2 = 1/2$. Треугольник $NC_1P$ является прямоугольным, так как ребро $CC_1$ (и его часть $NC_1$) перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, в котором лежит $B_1C_1$. Следовательно, $NC_1 \perp PC_1$. По теореме Пифагора для $\triangle NC_1P$: $NP^2 = NC_1^2 + PC_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $NP = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

* Длина отрезка $PM$: Для нахождения длины отрезка $PM$ проведем дополнительное построение. Из точки $M$ опустим перпендикуляр на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$. Этот перпендикуляр будет параллелен ребру $CC_1$ и равен ему по длине, то есть $1$. Пусть точка $M'$ - проекция точки $M$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Тогда $MM' = CC_1 = 1$. Точка $M$ - середина $AC$, поэтому $M'$ будет серединой $A_1C_1$. Теперь рассмотрим треугольник $MM'P$. Он прямоугольный, так как $MM' \perp M'P$. Отрезок $M'P$ соединяет середину $A_1C_1$ (точку $M'$) и середину $B_1C_1$ (точку $P$) в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$ со стороной $1$. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией. Следовательно, $M'P$ параллелен $A_1B_1$ и $M'P = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Теперь найдем $PM$ по теореме Пифагора для $\triangle MM'P$: $PM^2 = MM'^2 + M'P^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. $PM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Вычислим площадь треугольника $MNP$.

Мы получили стороны треугольника $MNP$: $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $NP = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $PM = \frac{\sqrt{5}}{2}$ Поскольку $MN = NP$, треугольник $MNP$ является равнобедренным. Для вычисления площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Основанием является $PM = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Проведем высоту $NK$ к основанию $PM$. Точка $K$ - середина $PM$. Значит $PK = \frac{PM}{2} = \frac{\sqrt{5}/2}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$. В прямоугольном треугольнике $NKP$ (с гипотенузой $NP$): $NK^2 = NP^2 - PK^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 = \frac{2}{4} - \frac{5}{16} = \frac{1}{2} - \frac{5}{16} = \frac{8}{16} - \frac{5}{16} = \frac{3}{16}$. $NK = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. Площадь треугольника $MNP$: $S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot NK = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{15}}{16}$.